Definícia a použitie únie v matematike

Jedna operácia, ktorá sa často používa na vytvorenie nových sád zo starých, sa nazýva únia. V bežnom zvyku slovo odbor znamená zbližovanie, ako sú odbory v organizovanej práci alebo stav únie adresu, ktorú U.S. predseda robí pred spoločným zasadnutím Kongresu. V matematickom zmysle si spojenie dvoch množín zachováva túto myšlienku spájania. Presnejšie spojenie dvoch množín A a B je súbor všetkých prvkov X také že X je prvkom súpravy A alebo X je prvkom súpravy B . Slovo, ktoré znamená, že používame spojenie, je slovo „alebo“.

Slovo 'alebo'

Keď používame slovo „alebo“ v každodenných rozhovoroch, možno si neuvedomujeme, že toto slovo sa používa dvoma rôznymi spôsobmi. Spôsob sa zvyčajne odvodzuje z kontextu rozhovoru. Ak by ste dostali otázku Dáte si kura alebo steak? zvyčajným dôsledkom je, že môžete mať jedno alebo druhé, ale nie oboje. Porovnajte to s otázkou: Dali by ste si na pečený zemiak maslo alebo kyslú smotanu? „alebo“ sa tu používa v inkluzívnom zmysle, že si môžete vybrať iba maslo, iba kyslú smotanu alebo maslo aj kyslú smotanu.

V matematike sa slovo „alebo“ používa v inkluzívnom zmysle. Takže vyhlásenie, ' X je prvkom A alebo prvok z B “ znamená, že je možný jeden z troch:

• X je prvkom spravodlivého A a nie prvkom B
• X je prvkom spravodlivého B a nie prvkom A .
• X je prvkom oboch A a B . (To by sme mohli povedať aj my X je prvkom priesečníka A a B

Príklad

Ako príklad toho, ako spojenie dvoch množín vytvorí novú množinu, uvažujme o množinách A = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Aby sme našli spojenie týchto dvoch množín, jednoducho uvedieme každý prvok, ktorý vidíme, pričom dávame pozor, aby sme žiadne prvky neduplikovali. Čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sú buď v jednej alebo v druhej množine, takže spojenie A a B je {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Notácia pre Úniu

Okrem pochopenia konceptov týkajúcich sa operácií teórie množín je dôležité vedieť čítať symboly používané na označenie týchto operácií. Symbol používaný na spojenie dvoch sád A a B je daný A ∪ B . Jedným zo spôsobov, ako si zapamätať, že symbol ∪ odkazuje na spojenie, je všimnúť si jeho podobnosť s veľkým U, čo je skratka pre slovo union. Buďte opatrní, pretože symbol spojenia je veľmi podobný symbolu pre križovatka . Jeden sa získa od druhého vertikálnym preklopením.

Ak chcete vidieť tento zápis v akcii, pozrite si vyššie uvedený príklad. Tu sme mali súpravy A = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Napísali by sme teda nastavenú rovnicu A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Spojenie s prázdnou súpravou

Jedna základná identita, ktorá zahŕňa spojenie, nám ukazuje, čo sa stane, keď vezmeme spojenie akejkoľvek množiny s prázdnou množinou, označenou #8709. Prázdna množina je množina bez prvkov. Takže pripojenie k akejkoľvek inej skupine nebude mať žiadny účinok. Inými slovami, spojenie akejkoľvek množiny s prázdnou množinou nám vráti pôvodnú množinu

Táto identita sa stáva ešte kompaktnejšou s použitím našej notácie. Máme identitu: A ∪ ∅ = A .

Spojenie s univerzálnou súpravou

Pre druhý extrém, čo sa stane, keď preskúmame spojenie množiny s univerzálnou sadou? Keďže univerzálna sada obsahuje každý prvok, nemôžeme k tomu pridať nič iné. Takže spojenie alebo akákoľvek súprava s univerzálnou súpravou je univerzálna súprava.

Náš zápis nám opäť pomáha vyjadriť túto identitu v kompaktnejšom formáte. Pre akúkoľvek sadu A a univerzálna sada IN , A ∪ IN = IN .

Iné identity zahŕňajúce Úniu

Existuje oveľa viac nastavených identít, ktoré zahŕňajú použitie operácie únie. Samozrejme, je to vždy dobré prax pomocou jazyka teórie množín. Niektoré z najdôležitejších sú uvedené nižšie. Pre všetky sady A , a B a D máme:

• Reflexná vlastnosť: A ∪ A = A
• Komutatívna vlastnosť: A ∪ B = B ∪ A
• Asociačná vlastnosť: ( A ∪ B ) ∪ D = A ∪ ( B ∪ D )
• DeMorganov zákon I: ( A ∩ B )^C= A ^C∪ B ^C
• DeMorganov zákon II: ( A ∪ B )^C= A ^C∩ B ^C