Pravdepodobnosť spojenia 3 alebo viacerých sád

Sylvia Schug/E+/Getty Images

Keď sú dve udalosti vzájomne sa vylučujú , pravdepodobnosť ich únie možno vypočítať s pravidlo sčítania . Vieme, že pri hode kockou sa hod číslom väčším ako štyri alebo číslom menším ako tri navzájom vylučujú a nemajú nič spoločné. Aby sme teda našli pravdepodobnosť tejto udalosti, jednoducho pripočítame pravdepodobnosť, že hodíme číslo väčšie ako štyri, k pravdepodobnosti, že hodíme číslo menšie ako tri. V symboloch máme nasledovné, kde je hl P označuje pravdepodobnosť:

P (viac ako štyri alebo menej ako tri) = P (viac ako štyri) + P (menej ako tri) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Ak sú udalosti nie sa navzájom vylučujú, potom jednoducho nesčítame pravdepodobnosti udalostí, ale musíme odčítať pravdepodobnosť križovatka udalostí. Vzhľadom na udalosti A a B :

P ( A IN B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B ).

Tu počítame s možnosťou dvojitého započítania tých prvkov, ktoré sú v oboch A a B , a preto odčítame pravdepodobnosť priesečníka.

Z toho vyvstáva otázka: Prečo prestať s dvoma sadami? Aká je pravdepodobnosť spojenia viac ako dvoch množín?

Vzorec pre spojenie 3 sád

Vyššie uvedené myšlienky rozšírime na situáciu, keď máme tri množiny, ktoré si označíme A , B , a C . Nebudeme predpokladať nič viac, takže je tu možnosť, že súpravy majú neprázdnu križovatku. Cieľom bude vypočítať pravdepodobnosť spojenia týchto troch množín, príp P ( A IN B IN C ).

Vyššie uvedená diskusia pre dve sady stále platí. Pravdepodobnosti jednotlivých množín môžeme sčítať A , B , a C , ale pri tomto sme niektoré prvky započítali dvakrát.

Prvky v priesečníku A a B boli započítané dvakrát ako predtým, ale teraz existujú ďalšie prvky, ktoré boli potenciálne započítané dvakrát. Prvky v priesečníku A a C a v priesečníku B a C teraz boli tiež započítané dvakrát. Takže pravdepodobnosti z týchto križovatiek treba tiež odpočítať.

Ale odrátali sme príliš veľa? Je tu niečo nové, o čo sme sa nemuseli starať, keď boli iba dve súpravy. Rovnako ako akékoľvek dve množiny môžu mať priesečník, všetky tri množiny môžu mať aj priesečník. V snahe zabezpečiť, aby sme nič nezapočítali dvakrát, sme nezapočítali vôbec tie prvky, ktoré sa objavia vo všetkých troch setoch. Pravdepodobnosť priesečníka všetkých troch množín teda treba pripočítať.

Tu je vzorec, ktorý je odvodený z vyššie uvedenej diskusie:

P ( A IN B IN C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) - P ( A ∩ B ) - P ( A ∩ C ) - P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C )

Príklad zahŕňajúci 2 kocky

Aby sme videli vzorec pre pravdepodobnosť spojenia troch množín, predpokladajme, že hráme stolovú hru, ktorá zahŕňa hod dvoma kockami . Kvôli pravidlám hry musíme získať aspoň jednu z kociek tak, aby bola dvojka, trojka alebo štvorka, aby sme vyhrali. Aká je pravdepodobnosť tohto? Všimli sme si, že sa snažíme vypočítať pravdepodobnosť spojenia troch udalostí: hod aspoň jedna dvojka, hod aspoň jedna trojka, hod aspoň jedna štvorka. Takže môžeme použiť vyššie uvedený vzorec s nasledujúcimi pravdepodobnosťami:

• Pravdepodobnosť hodenia dvojky je 11/36. Čitateľ tu vychádza zo skutočnosti, že existuje šesť výsledkov, v ktorých prvá kocka je dvojka, šesť, v ktorej druhá kocka je dvojka, a jeden výsledok, kde sú obe kocky dvojky. To nám dáva 6 + 6 - 1 = 11.
• Pravdepodobnosť hodenia trojky je 11/36 z rovnakého dôvodu ako vyššie.
• Pravdepodobnosť hodu štvorky je 11/36 z rovnakého dôvodu ako vyššie.
• Pravdepodobnosť hodenia dvojky a trojky je 2/36. Tu môžeme jednoducho vymenovať možnosti, dve môžu byť prvé alebo druhé.
• Pravdepodobnosť hodu dvojky a štvorky je 2/36, z rovnakého dôvodu ako pravdepodobnosť dvojky a trojky je 2/36.
• Pravdepodobnosť hodu dvojkou, trojkou a štvorkou je 0, pretože hádžeme iba dvoma kockami a neexistuje spôsob, ako dvoma kockami získať tri čísla.

Teraz použijeme vzorec a vidíme, že pravdepodobnosť získania aspoň dvojky, trojky alebo štvorky je

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

Vzorec pre pravdepodobnosť spojenia 4 sád

Dôvod, prečo má vzorec pravdepodobnosti spojenia štyroch množín svoj tvar, je podobný ako zdôvodnenie vzorca pre tri množiny. So zvyšujúcim sa počtom sád sa zvyšuje aj počet párov, trojíc atď. So štyrmi sadami existuje šesť párových priesečníkov, ktoré je potrebné odčítať, štyri trojité priesečníky, ktoré sa majú pridať späť, a teraz štvornásobný priesečník, ktorý je potrebné odčítať. Dané štyri sady A , B , C a D , vzorec na spojenie týchto množín je nasledujúci:

P ( A IN B IN C IN D ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) + P ( D ) - P ( A ∩ B ) - P ( A ∩ C ) - P ( A ∩ D )- P ( B ∩ C ) - P ( B ∩ D ) - P ( C ∩ D ) + P ( A ∩ B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ D ) + P ( A ∩ C ∩ D ) + P ( B ∩ C ∩ D ) - P ( A ∩ B ∩ C ∩ D ).

Celkový vzor

Mohli by sme napísať vzorce (ktoré by vyzerali ešte desivejšie ako vyššie uvedené) pre pravdepodobnosť spojenia viac ako štyroch množín, ale pri štúdiu vyššie uvedených vzorcov by sme si mali všimnúť niektoré vzorce. Tieto vzory platia pre výpočet zväzkov viac ako štyroch množín. Pravdepodobnosť spojenia ľubovoľného počtu množín možno nájsť takto:

1. Pridajte pravdepodobnosti jednotlivých udalostí.
2. Odčítajte pravdepodobnosti križovatiek každej dvojice udalostí.
3. Pridajte pravdepodobnosti prieniku každej množiny troch udalostí.
4. Odčítajte pravdepodobnosti priesečníkov každého súboru štyroch udalostí.
5. Pokračujte v tomto procese, kým posledná pravdepodobnosť nie je pravdepodobnosť priesečníka celkového počtu množín, s ktorými sme začali.