Aký je rozdiel medzi dvoma množinami v teórii množín?

Červená oblasť Vennovho diagramu označuje množinu A - B. C.K. Taylor

Rozdiel dvoch sád, písaný A - B je súbor všetkých prvkov A ktoré nie sú prvkami B . Operácia rozdielu spolu so spojením a priesečníkom je dôležitým a operácia základnej teórie množín .

Popis rozdielu

Odčítanie jedného čísla od druhého si možno predstaviť mnohými rôznymi spôsobmi. Jeden model, ktorý pomáha pochopiť tento koncept, sa nazýva model takeaway of odčítanie . V tomto by sa úloha 5 - 2 = 3 demonštrovala tak, že by sme začali s piatimi predmetmi, odstránili dva z nich a spočítali, že zostávajú tri. Podobným spôsobom, ako nájdeme rozdiel medzi dvoma číslami, môžeme nájsť rozdiel dvoch množín.

Príklad

Pozrime sa na príklad rozdielu množín. Aby ste videli, aký je rozdiel medzi dvoma súpravy tvorí novú množinu, uvažujme množiny A = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Aby sme našli rozdiel A - B z týchto dvoch množín začneme písaním všetkých prvkov A a potom odoberte každý prvok z A to je tiež prvok B . Od r A zdieľa prvky 3, 4 a 5 B , to nám dáva nastavený rozdiel A - B = {1, 2}.

Poradie je dôležité

Tak ako nám rozdiely 4 - 7 a 7 - 4 dávajú rôzne odpovede, musíme si dávať pozor na poradie, v ktorom počítame rozdiel množiny. Aby sme použili odborný termín z matematiky, povedali by sme, že množinová operácia rozdielu nie je komutatívna. To znamená, že vo všeobecnosti nemôžeme zmeniť poradie rozdielu dvoch množín a očakávať rovnaký výsledok. Presnejšie to môžeme uviesť pre všetky zostavy A a B , A - B sa nerovná B - A .

Ak to chcete vidieť, pozrite sa späť na príklad vyššie. Spočítali sme to na zostavy A = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, rozdiel A - B = {1, 2}. Aby som to porovnal B - A, začneme s prvkami B , ktoré sú 3, 4, 5, 6, 7, 8, a potom odstráňte 3, 4 a 5, pretože sú spoločné s A . Výsledkom je B - A = {6, 7, 8}. Tento príklad nám to jasne ukazuje A – B sa nerovná B - A .

Doplnok

Jeden druh rozdielu je dostatočne dôležitý na to, aby si zaslúžil svoj vlastný špeciálny názov a symbol. Toto sa nazýva doplnok a používa sa pre rozdiel množiny, keď je prvý set je univerzálna sada. Doplnok z A je dané výrazom IN - A . Toto sa vzťahuje na množinu všetkých prvkov v univerzálnej množine, ktoré nie sú prvkami A . Keďže sa rozumie, že súbor prvkov z ktorých si môžeme vybrať sú prevzaté z univerzálneho súboru, zjednodušene môžeme povedať, že doplnok z A je súbor pozostávajúci z prvkov, ktoré nie sú prvkami A .

Doplnok súpravy je relatívny k univerzálnej súprave, s ktorou pracujeme. s A = {1, 2, 3} a IN = {1, 2, 3, 4, 5}, doplnok z A je {4, 5}. Ak je naša univerzálna zostava iná, povedzme IN = {-3, -2, 0, 1, 2, 3 }, potom doplnok z A {-3, -2, -1, 0}. Vždy venujte pozornosť tomu, aká univerzálna sada sa používa.

Zápis pre Doplnok

Slovo „doplnok“ sa začína písmenom C, a preto sa používa v zápise. Doplnok setu A sa píše ako A ^C. Takže definíciu doplnku v symboloch môžeme vyjadriť takto: A ^C= IN - A .

Ďalší spôsob, ktorý sa bežne používa na označenie doplnku množiny, zahŕňa apostrof a píše sa ako A '.

Iné identity zahŕňajúce rozdiel a doplnky

Existuje veľa množín identít, ktoré zahŕňajú použitie operácií rozdielu a doplnku. Niektoré identity kombinujú iné množinové operácie, ako napr križovatka a únie . Niektoré z najdôležitejších sú uvedené nižšie. Pre všetky sady A , a B a D máme:

• A - A =∅
• A - ∅ = A
• ∅ - A = ∅
• A - IN = ∅
• ( A ^C)^C= A
• DeMorganov zákon I: ( A ∩ B )^C= A ^C∪ B ^C
• DeMorganov zákon II: ( A ∪ B )^C= A ^C∩ B ^C