Čo je to priesečník dvoch množín?

Teória množín

Vytieňovaná oblasť predstavuje priesečník dvoch množín A a B. C. K. Taylor

Pri rokovaní s teória množín , existuje množstvo operácií na výrobu nových súprav zo starých. Jedna z najbežnejších množinových operácií sa nazýva priesečník. Jednoducho povedané, priesečník dvoch množín A a B je súbor všetkých prvkov, ktoré oboje A a B majú spoločného.

Pozrieme sa na detaily týkajúce sa prieniku v teórii množín. Ako uvidíme, kľúčovým slovom je tu slovo „a“.

Príklad

Ako príklad toho, ako priesečník dvoch množín vzniká a nová sada , uvažujme o sadách A = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Aby sme našli priesečník týchto dvoch množín, musíme zistiť, aké prvky majú spoločné. Čísla 3, 4, 5 sú prvky oboch množín, teda priesečníky A a B je {3. 4. 5].

Zápis pre križovatku

Okrem pochopenia konceptov týkajúcich sa operácií teórie množín je dôležité vedieť čítať symboly používané na označenie týchto operácií. Symbol pre križovatku sa niekedy nahrádza slovom a medzi dvoma množinami. Toto slovo naznačuje kompaktnejší zápis križovatky, ktorý sa zvyčajne používa.

Symbol použitý na priesečník dvoch množín A a B je daný A ∩ B . Jedným zo spôsobov, ako si zapamätať, že tento symbol ∩ odkazuje na priesečník, je všimnúť si jeho podobnosť s veľkým A, čo je skratka pre slovo „a“.

Ak chcete vidieť tento zápis v akcii, pozrite si vyššie uvedený príklad. Tu sme mali súpravy A = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Napísali by sme teda nastavenú rovnicu A ∩ B = {3, 4, 5}.

Priesečník s prázdnou súpravou

Jedna základná identita, ktorá zahŕňa priesečník, nám ukazuje, čo sa stane, keď vezmeme priesečník ľubovoľnej množiny s prázdnou množinou, označenou #8709. Prázdna množina je množina bez prvkov. Ak aspoň v jednej z množín, ktorých priesečník sa snažíme nájsť, nie sú žiadne prvky, potom tieto dve množiny nemajú žiadne spoločné prvky. Inými slovami, priesečník ľubovoľnej množiny s prázdnu množinu nám dá prázdnu súpravu.

Táto identita sa stáva ešte kompaktnejšou s použitím našej notácie. Máme identitu: A ∩ ∅ = ∅.

Priesečník s univerzálnym súborom

Pre druhý extrém, čo sa stane, keď preskúmame priesečník množiny s univerzálnou množinou? Podobne ako slovo vesmír sa v astronómii používa na označenie všetkého, univerzálna množina obsahuje každý prvok. Z toho vyplýva, že každý prvok našej zostavy je zároveň prvkom univerzálnej zostavy. Priesečník akejkoľvek množiny s univerzálnou množinou je teda množina, s ktorou sme začali.

Opäť prichádza na pomoc naša notácia, aby sme túto identitu vyjadrili stručnejšie. Pre akúkoľvek sadu A a univerzálna sada IN , A ∩ IN = A .

Iné identity zahŕňajúce križovatku

Existuje oveľa viac rovníc, ktoré zahŕňajú použitie operácie križovatky. Samozrejme, je to vždy dobré prax pomocou jazyka teórie množín. Pre všetky sady A , a B a D máme:

• Reflexná vlastnosť: A ∩ A = A
• Komutatívna vlastnosť: A ∩ B = B ∩ A
• Asociatívne vlastníctvo :( A ∩ B ) ∩ D = A ∩ ( B ∩ D )
• Distribučné vlastníctvo: ( A ∪ B ) ∩ D = ( A ∩ D )∪ ( B ∩ D )
• DeMorganov zákon I: ( A ∩ B )^C= A ^C∪ B ^C
• DeMorganov zákon II: ( A ∪ B )^C= A ^C∩ B ^C