Sklon regresnej priamky a korelačný koeficient

Emely / Getty Images

Mnohokrát pri štúdiu oštatistikyje dôležité vytvárať prepojenia medzi rôznymi témami. Uvidíme príklad, v ktorom je sklon regresnej priamky priamo spojený s korelačný koeficient . Keďže oba tieto koncepty zahŕňajú priame čiary, je len prirodzené položiť si otázku: „Aké sú korelačné koeficienty a najmenšia štvorcová čiara súvisí?“

Najprv sa pozrieme na pozadie oboch týchto tém.

Podrobnosti týkajúce sa korelácie

Dôležité je zapamätať si podrobnosti týkajúce sa korelačného koeficientu, ktorý je označený r . Táto štatistika sa používa, keď sme spárovalispárované dáta, môžeme hľadať trendy v celkovom rozložení dát. Niektoré spárované údaje vykazujú lineárny alebo priamkový vzor. V praxi však údaje nikdy neklesajú presne pozdĺž priamky.

Niekoľko ľudí sa pozerá na to isté bodový diagram párových údajov by nesúhlasilo s tým, ako blízko k zobrazeniu celkového lineárneho trendu. Koniec koncov, naše kritériá môžu byť trochu subjektívne. Mierka, ktorú používame, môže tiež ovplyvniť naše vnímanie údajov. Z týchto a ďalších dôvodov potrebujeme nejaký druh objektívneho merania, aby sme zistili, do akej miery sú naše spárované údaje lineárne. Dosahuje nám to korelačný koeficient.

Pár základných faktov o r zahŕňajú:

• Hodnota r sa pohybuje medzi ľubovoľným reálnym číslom od -1 do 1.
• Hodnoty r blízko 0 znamená, že medzi údajmi je malý alebo žiadny lineárny vzťah.
• Hodnoty r blízko 1 znamená, že medzi údajmi existuje pozitívny lineárny vzťah. To znamená, že ako X to zvyšuje Y tiež zvyšuje.
• Hodnoty r blízko -1 znamená, že medzi údajmi existuje negatívny lineárny vzťah. To znamená, že ako X to zvyšuje Y klesá.

Sklon línie najmenších štvorcov

Posledné dve položky vo vyššie uvedenom zozname nás ukazujú smerom k sklonu najlepšie vyhovujúcej čiary najmenších štvorcov. Pripomeňme si, že sklon čiary je mierou toho, o koľko jednotiek ide hore alebo dole pre každú jednotku, ktorú posunieme doprava. Niekedy sa to uvádza ako vzostup čiary delený chodom alebo zmena v Y hodnoty delené zmenou v X hodnoty.

Vo všeobecnosti majú priame čiary sklony, ktoré sú kladné, záporné alebo nulové. Ak by sme mali preskúmať naše regresné čiary najmenších štvorcov a porovnať zodpovedajúce hodnoty r , všimli by sme si, že zakaždým, keď naše údaje obsahujú a negatívny korelačný koeficient , sklon regresnej priamky je negatívny. Podobne pre každý prípad, keď máme kladný korelačný koeficient, je sklon regresnej priamky kladný.

Z tohto pozorovania by malo byť zrejmé, že medzi znamienkom korelačného koeficientu a sklonom čiary najmenších štvorcov určite existuje súvislosť. Zostáva vysvetliť, prečo je to pravda.

Vzorec pre svah

Dôvodom spojenia medzi hodnotou r a sklon čiary najmenších štvorcov súvisí so vzorcom, ktorý nám dáva sklon tejto čiary. Pre spárované dáta ( x, y ) označujeme smerodajná odchýlka z X údaje podľa s_X a štandardná odchýlka Y údaje podľa s_Y .

Vzorec pre svah a regresnej priamky je:

• a = r(s_Y/s_X)

Výpočet štandardnej odchýlky zahŕňa kladnú druhú odmocninu nezáporného čísla. V dôsledku toho musia byť obe štandardné odchýlky vo vzorci pre sklon nezáporné. Ak predpokladáme, že v našich údajoch existuje nejaká odchýlka, budeme môcť ignorovať možnosť, že ktorákoľvek z týchto štandardných odchýlok je nulová. Preto znamienko korelačného koeficientu bude rovnaké ako znamienko sklonu regresnej priamky.