Výpočet korelačného koeficientu

Ilustrácia Hugo Lin. ThoughtCo.

Pri pohľade na bodový graf si treba položiť veľa otázok. Jednou z najbežnejších je otázka, ako dobre sa rovná čiara približuje údajom. Aby sme na to mohli odpovedať, existuje popisná štatistika nazývaná korelačný koeficient. Uvidíme, ako vypočítať túto štatistiku.

Korelačný koeficient

Thekorelačný koeficient, označené r , nám hovorí, ako blízko sú údaje v a bodový diagram padať po priamke. Čím bližšie absolútna hodnota z r je jedna, tým lepšie, že údaje sú opísané lineárnou rovnicou. Ak r = 1 alebo r = -1 potom je súbor údajov dokonale zarovnaný. Súbory údajov s hodnotami r blízko nule ukazujú malý alebo žiadny priamy vzťah.

Kvôli zdĺhavým výpočtom je najlepšie počítať r pomocou kalkulačky alebo štatistického softvéru. Vždy sa však oplatí vedieť, čo vaša kalkulačka robí, keď počíta. Nasleduje postup na výpočet korelačného koeficientu hlavne ručne, s kalkulačkou používanou na rutinné aritmetické kroky.

Kroky na výpočet r

Začneme vymenovaním krokov k výpočtu korelačného koeficientu. Údaje, s ktorými pracujeme, sú

Začneme niekoľkými predbežnými výpočtami. Veličiny z týchto výpočtov sa použijú v nasledujúcich krokoch nášho výpočtu r :

1. Vypočítajte x̄, the priemernývšetkých prvých súradníc údajov X_i .
2. Vypočítajte ȳ, strednú hodnotu všetkých druhých súradníc údajov
3. Y_i .
4. Vypočítajte s_X vzorka smerodajná odchýlka všetkých prvých súradníc údajov X_i .
5. Vypočítajte s_Y vzorová štandardná odchýlka všetkých druhých súradníc údajov Y_i .

Použite vzorec (S_X)_i = ( X_i - X) / s_X a pre každý vypočítajte štandardizovanú hodnotu X_i .

Použite vzorec (S_Y)_i = ( Y_i – )/ s_Y a pre každý vypočítajte štandardizovanú hodnotu Y_i .

Vynásobte zodpovedajúce štandardizované hodnoty: (S_X)_i(S_Y)_i

Pridajte produkty z posledného kroku dohromady.

Vydeľte súčet z predchádzajúceho kroku n – 1, kde n je celkový počet bodov v našom súbore spárovaných údajov. Výsledkom toho všetkého je korelačný koeficient r .

Tento proces nie je náročný a každý krok je pomerne rutinný, ale zber všetkých týchto krokov je dosť zložitý. Výpočet smerodajnej odchýlky je sám o sebe dosť únavný. Výpočet korelačného koeficientu však nezahŕňa len dve smerodajné odchýlky, ale množstvo ďalších operácií.

Príklad

Ak chcete presne vidieť, ako je hodnota r sa pozrieme na príklad. Opäť je dôležité poznamenať, že pre praktické aplikácie by sme na výpočet chceli použiť našu kalkulačku alebo štatistický softvér r pre nás.

Začneme výpisom spárovaných údajov: (1, 1), (2, 3), (4, 5), (5,7). Priemer z X priemer 1, 2, 4 a 5 je x̄ = 3. Máme tiež, že ȳ = 4. Štandardná odchýlka

X hodnoty je s_X = 1,83 a s_Y = 2,58. V tabuľke nižšie sú zhrnuté ďalšie potrebné výpočty r . Súčet produktov v stĺpci úplne vpravo je 2,969848. Keďže sú celkovo štyri body a 4 – 1 = 3, súčet súčinov vydelíme 3. Získame tak korelačný koeficient r = 2,969848/3 = 0,989949.

Tabuľka pre príklad výpočtu korelačného koeficientu

X	Y	sX	sY	sXsY
1	1	-1,09544503	-1,161894958	1,272792057
dva	3	-0,547722515	-0,387298319	0,212132009
4	5	0,547722515	0,387298319	0,212132009
5	7	1,09544503	1,161894958	1,272792057