Matematické vzorce pre geometrické tvary

ThoughtCo.

V matematike (najmä geometria ) a vede, budete často musieť vypočítať povrch, objem alebo obvod rôznych tvarov. Či už je to guľa alebo kruh, obdĺžnik alebo a kocka , pyramída alebo trojuholník, každý tvar má špecifické vzorce, ktoré musíte dodržiavať, aby ste získali správne miery.

Preskúmame vzorce, ktoré budete potrebovať na určenie povrchovej plochy a objemu trojrozmerných tvarov, ako aj oblasť a obvod z dvojrozmerné tvary . Môžete si preštudovať túto lekciu, aby ste sa naučili každý vzorec, a potom si ho uschovajte pre rýchlu referenciu, keď ho budete potrebovať nabudúce. Dobrou správou je, že každý vzorec používa veľa rovnakých základných meraní, takže učenie každého nového je o niečo jednoduchšie.

01 zo 16

Povrch a objem gule

D. Russell

Trojrozmerný kruh je známy ako guľa. Aby ste mohli vypočítať povrch alebo objem gule, musíte poznať polomer ( r ). Polomer je vzdialenosť od stredu gule k okraju a je vždy rovnaký, bez ohľadu na to, z ktorých bodov na okraji gule meriate.

Keď už máte polomer, vzorce sú pomerne jednoduché na zapamätanie. Rovnako ako s obvod kruhu , budete musieť použiť pi ( Pi ). Vo všeobecnosti môžete toto nekonečné číslo zaokrúhliť na 3,14 alebo 3,14159 (akceptovaný zlomok je 22/7).

Plocha povrchu = 4πr^dva Objem = 4/3 πr³

02 zo 16

Povrchová plocha a objem kužeľa

D. Russell

Kužeľ je pyramída s kruhovou základňou, ktorá má šikmé strany, ktoré sa stretávajú v stredovom bode. Aby ste mohli vypočítať jeho povrch alebo objem, musíte poznať polomer základne a dĺžku strany.

Ak ju nepoznáte, môžete zistiť dĺžku strany ( s ) pomocou polomeru ( r ) a výška kužeľa ( h ).

s = √(r2 + h2)

Pomocou toho potom môžete nájsť celkovú plochu povrchu, ktorá je súčtom plochy základne a plochy strany.

Oblasť základne: πr^dva Oblasť strany: πrs Celková plocha povrchu = πr^dva+ pr

Na zistenie objemu gule potrebujete iba polomer a výšku.

Objem = 1/3 πr^dvah

03 zo 16

Povrchová plocha a objem valca

D. Russell

Zistíte, že s valcom sa pracuje oveľa jednoduchšie ako s kužeľom. Tento tvar má kruhovú základňu a rovné, rovnobežné strany. To znamená, že na nájdenie jeho povrchu alebo objemu potrebujete iba polomer ( r ) a výška ( h ).

Musíte však počítať aj s tým, že existuje horná aj spodná časť, a preto je potrebné polomer plochy vynásobiť dvomi.

Plocha povrchu = 2πr^dva+ 2πrh Objem = πr^dvah

04 zo 16

Povrch a objem pravouhlého hranola

D. Russell

Obdĺžnik v troch rozmeroch sa stáva pravouhlým hranolom (alebo krabicou). Keď majú všetky strany rovnaké rozmery, stane sa kockou. Tak či onak, nájdenie plochy a objemu vyžaduje rovnaké vzorce.

Na to budete potrebovať poznať dĺžku ( l ), výška ( h ) a šírku ( v ). S kockou budú všetky tri rovnaké.

Plocha povrchu = 2 (lh) + 2 (lw) + 2 (wh) Objem = lhw

05 zo 16

Povrch a objem pyramídy

D. Russell

S pyramídou so štvorcovou základňou a plochami z rovnostranných trojuholníkov sa pracuje pomerne ľahko.

Budete potrebovať poznať mieru pre jednu dĺžku základne ( b ). Výška ( h ) je vzdialenosť od základne k stredu pyramídy. Strana ( s ) je dĺžka jednej strany pyramídy, od základne po horný bod.

Plocha povrchu = 2b + b^dva Objem = 1/3 b^dvah

Ďalším spôsobom, ako to vypočítať, je použiť obvod ( P ) a oblasť ( A ) základného tvaru. To sa dá použiť na pyramíde, ktorá má skôr obdĺžnikovú ako štvorcovú základňu.

Plocha povrchu = (½ x P x s) + A Objem = 1/3 Ah

06 zo 16

Povrch a objem hranola

D. Russell

Keď prejdete z pyramídy na rovnoramenný trojuholníkový hranol, musíte zohľadniť aj dĺžku ( l ) tvaru. Pamätajte na skratky pre základňu ( b ), výška ( h ) a bočné ( s ), pretože sú potrebné pre tieto výpočty.

Plocha povrchu = bh + 2ls + lb Objem = 1/2 (bh)l

Hranol však môže byť akýkoľvek stoh tvarov. Ak musíte určiť plochu alebo objem nepárneho hranola, môžete sa spoľahnúť na plochu ( A ) a obvod ( P ) základného tvaru. Mnohokrát tento vzorec použije výšku hranola alebo hĺbku ( d ), a nie dĺžka ( l ), aj keď môžete vidieť obe skratky.

Povrchová plocha = 2A + Pd Objem = Reklama

07 zo 16

Oblasť kruhového sektora

D. Russell

Plochu sektora kruhu je možné vypočítať podľa stupňov (alebo radiánov ako sa častejšie používa v kalkule). Na to budete potrebovať polomer ( r ), pi ( Pi ) a stredový uhol ( i ).

Plocha = θ/2 r^dva(v radiánoch)Plocha = θ/360 pr^dva(v stupňoch)

08 zo 16

Oblasť elipsy

D. Russell

Elipsa sa tiež nazýva ovál a je to v podstate predĺžený kruh. Vzdialenosti od stredového bodu k boku nie sú konštantné, čo robí vzorec na nájdenie jeho oblasti trochu zložitý.

Ak chcete použiť tento vzorec, musíte vedieť:

• Polovičná os ( a ): Najkratšia vzdialenosť medzi stredovým bodom a okrajom.
• Hlavná os ( b ): Najdlhšia vzdialenosť medzi stredovým bodom a okrajom.

Súčet týchto dvoch bodov zostáva konštantný. Preto môžeme použiť nasledujúci vzorec na výpočet plochy ľubovoľnej elipsy.

Plocha = πab

Príležitostne môžete vidieť tento vzorec napísaný pomocou r₁ (polomer 1 alebo vedľajšia os) a r_dva (polomer 2 alebo hlavná poloos) skôr ako a a b .

Plocha = πr₁r_dva

09 zo 16

Plocha a obvod trojuholníka

Trojuholník je jedným z najjednoduchších tvarov a výpočet obvodu tejto trojstrannej formy je pomerne jednoduchý. Budete potrebovať poznať dĺžky všetkých troch strán ( a, b, c ) na meranie celého obvodu.

Obvod = a + b + c

Na zistenie plochy trojuholníka budete potrebovať iba dĺžku základne ( b ) a výšku ( h ), ktorá sa meria od základne po vrchol trojuholníka. Tento vzorec funguje pre akýkoľvek trojuholník, bez ohľadu na to, či sú strany rovnaké alebo nie.

Plocha = 1/2 bh

10 zo 16

Plocha a obvod kruhu

Podobne ako pri gule budete potrebovať poznať polomer ( r ) kruhu, aby ste zistili jeho priemer ( d ) a obvod ( c ). Majte na pamäti, že kruh je elipsa, ktorá má rovnakú vzdialenosť od stredu ku každej strane (polomer), takže nezáleží na tom, kam na okraji meriate.

Priemer (d) = 2r Obvod (c) = πd alebo 2πr

Tieto dve merania sa používajú vo vzorci na výpočet plochy kruhu. Je tiež dôležité si uvedomiť, že pomer medzi obvodom kruhu a jeho priemerom sa rovná pi ( Pi ).

Plocha = πr^dva

11 zo 16

Plocha a obvod rovnobežníka

Rovnobežník má dve sady protiľahlých strán, ktoré prebiehajú navzájom rovnobežne. Tvar je štvoruholník, takže má štyri strany: dve strany jednej dĺžky ( a ) a dve strany inej dĺžky ( b ).

Ak chcete zistiť obvod akéhokoľvek rovnobežníka, použite tento jednoduchý vzorec:

Obvod = 2a + 2b

Keď potrebujete nájsť oblasť rovnobežníka, budete potrebovať výšku ( h ). Toto je vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými stranami. Základ ( b ) a to je dĺžka jednej zo strán.

Plocha = b x h

Majte na pamäti, že b vo vzorci oblasti nie je to isté ako b v obvodovom vzorci. Môžete použiť ktorúkoľvek zo strán, ktoré boli spárované ako a a b pri výpočte obvodu — aj keď najčastejšie používame stranu, ktorá je kolmá na výšku.

12 zo 16

Plocha a obvod obdĺžnika

Obdĺžnik je tiež štvoruholník. Na rozdiel od rovnobežníka sú vnútorné uhly vždy rovné 90 stupňom. Taktiež strany oproti sebe budú mať vždy rovnakú dĺžku.

Ak chcete použiť vzorce pre obvod a plochu, budete musieť zmerať dĺžku obdĺžnika ( l ) a jeho šírka ( v ).

Obvod = 2h + 2w Plocha = v x š

13 zo 16

Plocha a obvod štvorca

Štvorec je ešte jednoduchší ako obdĺžnik, pretože je to obdĺžnik so štyrmi rovnakými stranami. To znamená, že potrebujete poznať iba dĺžku jednej strany ( s ), aby ste našli jeho obvod a plochu.

Obvod = 4s Plocha = s^dva

14 zo 16

Plocha a obvod lichobežníka

Lichobežník je štvoruholník, ktorý môže vyzerať ako výzva, no v skutočnosti je to celkom jednoduché. Pre tento tvar sú len dve strany navzájom rovnobežné, hoci všetky štyri strany môžu mať rôznu dĺžku. To znamená, že budete potrebovať poznať dĺžku každej strany ( a, b₁, b_dva, c ) nájsť obvod lichobežníka.

Obvod = a + b₁+ b_dva+ c

Na nájdenie oblasti lichobežníka budete potrebovať aj výšku ( h ). Toto je vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými stranami.

Plocha = 1/2 (b₁+ b_dva) x h

15 zo 16

Plocha a obvod šesťuholníka

Šesťstranný mnohouholník s rovnakými stranami je pravidelný šesťuholník. Dĺžka každej strany sa rovná polomeru ( r ). Aj keď sa to môže zdať ako komplikovaný tvar, výpočet obvodu je jednoduchá záležitosť vynásobenia polomeru šiestimi stranami.

Obvod = 6r

Zistenie plochy šesťuholníka je o niečo ťažšie a budete si musieť zapamätať tento vzorec:

Plocha = (3√3/2 )r^dva

16 zo 16

Plocha a obvod osemuholníka

Pravidelný osemuholník je podobný šesťuholníku, hoci tento mnohouholník má osem rovnakých strán. Na nájdenie obvodu a plochy tohto tvaru budete potrebovať dĺžku jednej strany ( a ).

Obvod = 8a Plocha = ( 2 + 2√2)a^dva