Čo je to Power Set?

Jedna otázka v teória množín je, či je množina podmnožinou inej množiny. Podskupina A je množina, ktorá vzniká použitím niektorých prvkov zo množiny A . V poradí pre B byť podmnožinou A , každý prvok B musí byť tiež prvkom A .

Každá množina má niekoľko podmnožín. Niekedy je žiaduce poznať všetky možné podmnožiny. V tomto úsilí pomáha konštrukcia známa ako power set. Výkonová sada súpravy A je súbor s prvkami, ktoré sú zároveň súbormi. Táto množina moci je tvorená zahrnutím všetkých podmnožín danej množiny A .

Príklad 1

Zvážime dva príklady výkonových súprav. Po prvé, ak začneme so súpravou A = {1, 2, 3}, potom aký je nastavený výkon? Pokračujeme zoznamom všetkých podmnožín A .

• The prázdna sada je podmnožinou A . V skutočnosti prázdna množina je podmnožinou každej množiny . Toto je jediná podmnožina bez prvkov A .
• Množiny {1}, {2}, {3} sú jedinými podmnožinami A s jedným prvkom.
• Množiny {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} sú jedinými podmnožinami A s dvoma prvkami.
• Každá množina je podmnožinou samej seba. Teda A = {1, 2, 3} je podmnožinou A . Toto je jediná podmnožina s tromi prvkami.

A A A

Príklad 2

V druhom príklade budeme uvažovať o výkonovej množine B ={1, 2, 3, 4}. Veľa z toho, čo sme povedali vyššie, je teraz podobné, ak nie rovnaké:

• Prázdna súprava a B sú obe podmnožiny.
• Keďže existujú štyri prvky B , existujú štyri podmnožiny s jedným prvkom: {1}, {2}, {3}, {4}.
• Pretože každá podmnožina troch prvkov môže byť vytvorená odstránením jedného prvku z B a existujú štyri prvky, existujú štyri takéto podmnožiny: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.
• Zostáva určiť podmnožiny s dvoma prvkami. Vytvárame podmnožinu dvoch prvkov vybraných zo súboru 4. Toto je kombinácia a existuje C (4, 2) = 6 týchto kombinácií. Podmnožiny sú: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

B B

Notový zápis

Existujú dva spôsoby, ako nastaviť výkon súpravy A sa označuje. Jedným zo spôsobov, ako to označiť, je použiť symbol P ( A ), kde niekedy toto písmeno P je písaná štylizovaným písmom. Ďalší zápis pre množinu moci A je 2 ^A . Tento zápis sa používa na pripojenie výkonovej sady k počtu prvkov v výkonovej súprave.

Veľkosť Power Setu

Tento zápis budeme ďalej skúmať. Ak A je konečná množina s n prvkov, potom jeho výkonová súprava P (A ) bude mať 2 ⁿ prvkov. Ak pracujeme s nekonečnou množinou, potom nie je užitočné myslieť na 2 ⁿ prvkov. Cantorova veta nám však hovorí, že mohutnosť množiny a jej mocniny nemôžu byť rovnaké.

V matematike bola otvorenou otázkou, či sa mohutnosť mocninnej množiny spočítateľne nekonečnej množiny zhoduje s mohutnosťou reálnych hodnôt. Riešenie tejto otázky je dosť technické, ale hovorí, že sa môžeme rozhodnúť, či identifikáciu mohutností urobíme alebo nie. Obe vedú k konzistentnej matematickej teórii.

Výkonové sady v pravdepodobnosti

Predmet pravdepodobnosti je založený na teórii množín. Namiesto odkazu na univerzálne množiny a podmnožiny hovoríme o vzorové priestory a diania . Niekedy pri práci so vzorovým priestorom chceme určiť udalosti tohto vzorového priestoru. Výkonová sada vzorového priestoru, ktorý máme, nám poskytne všetky možné udalosti.