Príklad intervalu spoľahlivosti pre populačný rozptyl

C.K.Taylor

Rozptyl populácie naznačuje, ako rozložiť súbor údajov. Bohužiaľ je zvyčajne nemožné presne vedieť, čo je tento parameter populácie. Na kompenzáciu nášho nedostatku vedomostí používame tému z inferenčnej štatistiky tzv intervaly spoľahlivosti . Ukážeme si príklad, ako vypočítať interval spoľahlivosti pre rozptyl populácie.​

Vzorec intervalu spoľahlivosti

Vzorec pre (1 - α) interval spoľahlivosti o rozptyle populácie . Je daný nasledujúcim reťazcom nerovností:

[ ( n - 1) s ^dva] / B <σ^dva <[ ( n - 1) s ^dva] / A .

Tu n je veľkosť vzorky, s ^dvaje vzorový rozptyl. Číslo A je bod rozdelenia chí-kvadrát s n -1 stupeň voľnosti, pri ktorom je presne α/2 plochy pod krivkou naľavo A . Podobným spôsobom aj číslo B je bod rovnakého rozdelenia chí-kvadrát s presne α/2 plochy pod krivkou napravo od B .

Prípravné zápasy

Začneme množinou údajov s 10 hodnotami. Tento súbor údajových hodnôt bol získaný jednoduchou náhodnou vzorkou:

97, 75, 124, 106, 120, 131, 94, 97,96, 102

Na preukázanie, že neexistujú žiadne odľahlé hodnoty, by bola potrebná určitá prieskumná analýza údajov. Konštrukciou a kmeňový a listový pozemok vidíme, že tieto údaje pravdepodobne pochádzajú z distribúcie, ktorá je približne normálne rozložená. To znamená, že môžeme pokračovať v hľadaní 95% intervalu spoľahlivosti pre rozptyl populácie.

Vzorový rozptyl

Musíme odhadnúť rozptyl populácie s rozptylom vzorky, označený ako s ^dva. Začneme teda výpočtom tejto štatistiky. V podstate spriemerujeme súčet štvorcových odchýlok od priemeru. Namiesto delenia tejto sumy však n delíme to podľa n - 1.

Zistili sme, že priemer vzorky je 104,2. Pomocou toho máme súčet štvorcových odchýlok od priemeru daného:

(97 – 104,2)^dva+ (75 – 104,3)^dva+ . . . + (96 – 104,2)^dva+ (102 – 104,2)^dva= 2495,6

Tento súčet vydelíme 10 – 1 = 9, aby sme získali výberový rozptyl 277.

Chi-kvadrát rozloženie

Teraz prejdeme k nášmu rozdeleniu chí-kvadrát. Keďže máme 10 údajových hodnôt, máme 9 stupne slobody . Keďže chceme, aby 95 % našej distribúcie bolo v strede, potrebujeme 2,5 % v každej z dvoch koncoviek. Nahliadneme do tabuľky chí-kvadrát alebo softvéru a zistíme, že hodnoty tabuľky 2,7004 a 19,023 pokrývajú 95 % plochy distribúcie. Tieto čísla sú A a B , resp.

Teraz máme všetko, čo potrebujeme, a sme pripravení zostaviť náš interval spoľahlivosti. Vzorec pre ľavý koncový bod je [ ( n - 1) s ^dva] / B . To znamená, že náš ľavý koncový bod je:

(9 x 277)/19,023 = 133

Správny koncový bod sa nájde nahradením B s A :

(9 x 277)/2,7004 = 923

A tak sme si na 95 % istí, že rozptyl populácie leží medzi 133 a 923.

Štandardná odchýlka populácie

Samozrejme, keďže štandardná odchýlka je druhou odmocninou rozptylu, túto metódu možno použiť na zostavenie intervalu spoľahlivosti pre štandardnú odchýlku populácie. Všetko, čo by sme museli urobiť, je vziať odmocniny koncových bodov. Výsledkom by bol 95 % interval spoľahlivosti pre smerodajná odchýlka .