Normálna aproximácia k binomickému rozdeleniu

Matt Cardy / Getty Images

Náhodné premenné s binomickým rozdelením je známe, že sú diskrétne. To znamená, že existuje spočítateľný počet výsledkov, ktoré sa môžu vyskytnúť v binomickom rozdelení, pričom tieto výsledky sú oddelené. Napríklad binomická premenná môže mať hodnotu tri alebo štyri, ale nie číslo medzi tromi a štyrmi.

Vzhľadom na diskrétny charakter binomického rozdelenia je trochu prekvapujúce, že na aproximáciu binomického rozdelenia možno použiť spojitú náhodnú premennú. Pre veľa binomické distribúcie , môžeme použiť normálne rozdelenie na aproximáciu našich binomických pravdepodobností.

To je vidieť pri pohľade n hádzanie mincí a nechávanie X byť počet hláv. V tejto situácii máme binomické rozdelenie s pravdepodobnosťou úspechu as p = 0,5. Keď zvyšujeme počet hodov, vidíme, že pravdepodobnosť histogram sa čoraz viac podobá normálnemu rozdeleniu.

Vyhlásenie o normálnej aproximácii

Každé normálne rozdelenie je úplne definované dvoma reálne čísla . Tieto čísla sú priemer, ktorý meria stred distribúcie a smerodajná odchýlka , ktorá meria šírenie distribúcie. Pre danú binomickú situáciu musíme vedieť určiť, ktoré normálne rozdelenie použiť.

Výber správneho normálneho rozdelenia je určený počtom pokusov n v binomickom nastavení a konštantnej pravdepodobnosti úspechu p pre každý z týchto pokusov. Normálna aproximácia pre našu binomickú premennú je priemer napr. a štandardná odchýlka ( napr. (1 - p )^0,5.

Predpokladajme napríklad, že sme uhádli každú zo 100 otázok testu s viacerými možnosťami, kde každá otázka mala jednu správnu odpoveď zo štyroch možností. Počet správnych odpovedí X je binomická náhodná premenná s n = 100 a p = 0,25. Táto náhodná premenná má teda priemer 100 (0,25) = 25 a štandardnú odchýlku (100 (0,25) (0,75))^0,5= 4,33. Normálne rozdelenie so strednou hodnotou 25 a štandardnou odchýlkou ​​4,33 bude fungovať na aproximáciu tohto binomického rozdelenia.

Kedy je aproximácia vhodná?

Použitím určitej matematiky možno ukázať, že existuje niekoľko podmienok, ktoré potrebujeme na použitie normálnej aproximácie binomické rozdelenie . Počet pozorovaní n musí byť dostatočne veľká a má hodnotu p takže obaja napr. a n (1 - p ) sú väčšie alebo rovné 10. Toto je orientačné pravidlo, ktoré sa riadi štatistickou praxou. Normálnu aproximáciu možno použiť vždy, ale ak tieto podmienky nie sú splnené, potom aproximácia nemusí byť taká dobrá.

Napríklad, ak n = 100 a p = 0,25, potom môžeme použiť normálnu aproximáciu. To je preto, že napr. = 25 a n (1 - p ) = 75. Keďže obe tieto čísla sú väčšie ako 10, pri odhadovaní binomických pravdepodobností celkom dobre poslúži vhodné normálne rozdelenie.

Prečo používať aproximáciu?

Binomické pravdepodobnosti sa vypočítavajú pomocou veľmi jednoduchého vzorca na nájdenie binomického koeficientu. Bohužiaľ, vzhľadom na faktoriály vo vzorci sa môže veľmi ľahko dostať do výpočtových ťažkostí s binomický vzorec. Normálna aproximácia nám umožňuje obísť ktorýkoľvek z týchto problémov prácou so známym priateľom, tabuľkou hodnôt štandardného normálneho rozdelenia.

Mnohokrát je výpočet pravdepodobnosti, že binomická náhodná premenná spadá do rozsahu hodnôt, zdĺhavý. Je to preto, že nájsť pravdepodobnosť, že binomická premenná X je väčšia ako 3 a menšia ako 10, museli by sme nájsť pravdepodobnosť, že X sa rovná 4, 5, 6, 7, 8 a 9 a potom spočítajte všetky tieto pravdepodobnosti. Ak je možné použiť normálnu aproximáciu, budeme musieť namiesto toho určiť z-skóre zodpovedajúce 3 a 10 a potom použiť tabuľku z-skóre pravdepodobností štandardné normálne rozdelenie .