Čo je negatívne binomické rozdelenie?

Tatiana Kolesniková/Getty Images

Záporné binomické rozdelenie je a rozdelenia pravdepodobnosti ktorý sa používa s diskrétnymi náhodnými premennými. Tento typ distribúcie sa týka počtu pokusov, ktoré sa musia uskutočniť, aby sa dosiahol vopred stanovený počet úspechov. Ako uvidíme, záporné binomické rozdelenie súvisí s binomické rozdelenie . Okrem toho toto rozdelenie zovšeobecňuje geometrické rozdelenie.

Nastavenie

Začneme tým, že sa pozrieme na nastavenie aj podmienky, ktoré vedú k negatívnemu binomickému rozdeleniu. Mnohé z týchto podmienok sú veľmi podobné binomickému nastaveniu.

1. Máme Bernoulliho experiment. To znamená, že každá skúška, ktorú vykonáme, má dobre definovaný úspech a neúspech a že toto sú jediné výsledky.
2. Pravdepodobnosť úspechu je konštantná bez ohľadu na to, koľkokrát experiment vykonáme. Túto konštantnú pravdepodobnosť označujeme a p.
3. Experiment sa opakuje pre X nezávislé pokusy, čo znamená, že výsledok jedného pokusu nemá žiadny vplyv na výsledok nasledujúceho.

Tieto tri podmienky sú totožné s podmienkami v binomickom rozdelení. Rozdiel je v tom, že binomická náhodná premenná má pevný počet pokusov n. Jediné hodnoty X sú 0, 1, 2, ..., n, takže toto je konečné rozdelenie.

Záporné binomické rozdelenie sa týka počtu pokusov X to sa musí stať, kým nebudeme mať r úspechov. Číslo r je celé číslo, ktoré si vyberieme predtým, ako začneme vykonávať naše skúšky. Náhodná premenná X je stále diskrétny. Teraz však môže náhodná premenná nadobúdať hodnoty X = r, r+1, r+2, ... Táto náhodná premenná je spočítateľne nekonečná, pretože môže trvať ľubovoľne dlho, kým ju získame r úspechov.

Príklad

Aby sme pomohli pochopiť negatívne binomické rozdelenie, stojí za to zvážiť príklad. Predpokladajme, že hodíme peknou mincou a položíme otázku: „Aká je pravdepodobnosť, že dostaneme tri hlavy v prvom X hádzať mincou?“ Toto je situácia, ktorá si vyžaduje negatívne binomické rozdelenie.

Hody mincou majú dva možné výsledky, pravdepodobnosť úspechu je konštantná 1/2 a pokusy sú na sebe nezávislé. Pýtame sa na pravdepodobnosť získania prvých troch hláv po X hádzanie mincí. Preto musíme hodiť mincou aspoň trikrát. Potom otáčame, kým sa neobjaví tretia hlava.

Aby sme mohli vypočítať pravdepodobnosti súvisiace so záporným binomickým rozdelením, potrebujeme ďalšie informácie. Potrebujeme poznať funkciu hmotnosti pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť funkcie hmotnosti

Funkciu hmotnosti pravdepodobnosti pre záporné binomické rozdelenie možno vyvinúť s trochou premýšľania. Každý pokus má pravdepodobnosť úspechu danú p. Keďže existujú len dva možné výsledky, znamená to, že pravdepodobnosť zlyhania je konštantná (1 - p ).

The r úspech musí nastať pre X a záverečný súdny proces. Predchádzajúci X - 1 pokus musí obsahovať presne r - 1 úspechov. Počet spôsobov, ako k tomu môže dôjsť, je daný počtom kombinácií:

C( X - 1, r -1) = (x - 1)!/[(r - 1)!( x - r )!].

Okrem toho máme nezávislé udalosti, a tak môžeme spolu znásobiť naše pravdepodobnosti. Keď to všetko spojíme, dostaneme funkciu hmotnosti pravdepodobnosti

f ( X ) =C( X - 1, r -1) p ^r (1 - p ) ^{X - r}.

Názov distribúcie

Teraz sme v pozícii, aby sme pochopili, prečo má táto náhodná premenná záporné binomické rozdelenie. Počet kombinácií, s ktorými sme sa stretli vyššie, sa dá zapísať inak nastavením x - r = k:

(x - 1)!/[(r - 1)!( x - r )!] = ( x + k - 1)!/[(r - 1)! k !] = ( r + k - 1)( x + k - 2). . . (r + 1) (r)/ k ! = (-1) ^k (-r)(-r-1). . .(-r -(k + 1)/k!.

Tu vidíme objavenie sa záporného binomického koeficientu, ktorý sa používa, keď binomický výraz (a + b) zvýšime na zápornú mocninu.

Priemerná

Je dôležité poznať priemer distribúcie, pretože je to jeden zo spôsobov, ako označiť stred distribúcie. Stredná hodnota tohto typu náhodnej premennej je daná jej očakávanou hodnotou a rovná sa r / p . Môžeme to starostlivo dokázať pomocou funkcia generovania momentov pre túto distribúciu.

K tomuto výrazu nás vedie aj intuícia. Predpokladajme, že vykonáme sériu pokusov n ₁kým nezískame r úspechov. A potom to urobíme znova, len tentoraz to trvá n _dvaskúšok. Pokračujeme v tom znova a znova, kým nemáme veľké množstvo skupín pokusov N = n ₁+ n _dva+ . . . + n _k.

Každý z týchto k skúšky obsahuje r úspechov, a tak máme celkom DKK úspechov. Ak N je veľký, potom by sme očakávali, že uvidíme o napr úspechov. Preto ich prirovnávame k sebe a máme kr = Np.

Urobíme nejakú algebru a zistíme to N/k = r/p. Zlomok na ľavej strane tejto rovnice je priemerný počet pokusov požadovaných pre každý z našich k skupiny pokusov. Inými slovami, toto je očakávaný počet vykonaní experimentu, aby sme ich mali celkom r úspechov. Toto je presne to očakávanie, ktoré chceme nájsť. Vidíme, že toto sa rovná vzorcu r / p.

Rozptyl

Rozptyl záporného binomického rozdelenia možno vypočítať aj pomocou funkcie generujúcej moment. Keď to urobíme, vidíme, že rozptyl tohto rozdelenia je daný nasledujúcim vzorcom:

r(1 - p )/ p ^dva

Funkcia generovania momentov

Funkcia generovania momentov pre tento typ náhodnej premennej je pomerne komplikovaná. Pripomeňme, že funkcia generujúca moment je definovaná ako očakávaná hodnota E[e^tX]. Použitím tejto definície s našou funkciou hmotnosti pravdepodobnosti máme:

M(t) = E[e^tX] = Σ (x - 1)!/[(r - 1)!( x - r )!] a^tX p ^r (1 - p ) ^{X - r}

Po nejakej algebre sa to zmení na M(t) = (pe^t)^r[1-(1-p)e^t]^-r

Vzťah k iným distribúciám

Vyššie sme videli, ako je negatívne binomické rozdelenie v mnohých ohľadoch podobné binomickému rozdeleniu. Okrem tohto spojenia je negatívne binomické rozdelenie všeobecnejšou verziou geometrického rozdelenia.

Náhodná geometrická premenná X počíta počet pokusov potrebných pred prvým úspechom. Je ľahké vidieť, že toto je presne záporné binomické rozdelenie, ale s r rovný jednej.

Existujú aj iné formulácie negatívneho binomického rozdelenia. Niektoré učebnice definujú X aby bol počet pokusov do r dochádza k poruchám.

Príklad problému

Pozrime sa na príklad problému, aby sme videli, ako pracovať so záporným binomickým rozdelením. Predpokladajme, že basketbalista je z 80 % strelec trestných hodov. Ďalej predpokladajme, že vykonanie jedného trestného hodu je nezávislé od vykonania ďalšieho. Aká je pravdepodobnosť, že pre tohto hráča padne ôsmy kôš pri desiatom trestnom hode?

Vidíme, že máme nastavenie pre záporné binomické rozdelenie. Konštantná pravdepodobnosť úspechu je 0,8, a teda pravdepodobnosť zlyhania je 0,2. Chceme určiť pravdepodobnosť X = 10, keď r = 8.

Tieto hodnoty zapojíme do našej funkcie hmotnosti pravdepodobnosti:

f(10) = C(10-1, 8-1) (0,8)⁸(0,2)^dva= 36 (0,8)⁸(0,2)^dva, čo je približne 24 %.

Potom by sme sa mohli spýtať, aký je priemerný počet trestných hodov predtým, než ich tento hráč urobí osem. Keďže očakávaná hodnota je 8/0,8 = 10, ide o počet výstrelov.