Funkcia generovania momentu náhodnej premennej

Moment generujúca funkcia náhodnej premennej je definovaná ako očakávaná hodnota. C.K.Taylor

Jedným zo spôsobov výpočtu priemeru a rozptylu a rozdelenia pravdepodobnosti je nájsť očakávané hodnoty náhodných premenných X a X ^dva. Používame notáciu A ( X ) a A ( X ^dva) na označenie týchto očakávaných hodnôt. Vo všeobecnosti je ťažké vypočítať A ( X ) a A ( X ^dva) priamo. Aby sme obišli tento problém, používame pokročilejšiu matematickú teóriu a počet. Konečným výsledkom je niečo, čo uľahčuje naše výpočty.

Stratégiou pre tento problém je definovať novú funkciu, novú premennú t nazýva sa to funkcia generujúca moment. Táto funkcia nám umožňuje vypočítať momenty jednoduchým použitím derivácií.

Predpoklady

Predtým, ako definujeme funkciu generovania momentov, začneme nastavením fázy so zápisom a definíciami. Necháme X byť a diskrétna náhodná premenná . Táto náhodná premenná má funkciu hmotnosti pravdepodobnosti f ( X ). Vzorový priestor, s ktorým pracujeme, bude označený S .

Namiesto výpočtu očakávanej hodnoty X , chceme vypočítať očakávanú hodnotu exponenciálnej funkcie súvisiacej s X . Ak existuje pozitívum Reálne číslo r také že A ( a^tX ) existuje a je konečný pre všetkých t v intervale [- r , r ], potom môžeme definovať funkciu generovania momentu X .

Definícia

Funkcia generujúca moment je očakávaná hodnota vyššie uvedenej exponenciálnej funkcie. Inými slovami, hovoríme, že moment generujúca funkcia X je daný:

M ( t ) = A ( a^tX )

Táto očakávaná hodnota je vzorec Σ a ^TX f ( X ), kde súčet preberá všetky X v vzorový priestor S . Môže to byť konečný alebo nekonečný súčet v závislosti od použitého priestoru vzorky.

Vlastnosti

Funkcia generovania momentov má mnoho funkcií, ktoré sa spájajú s inými témami v oblasti pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. Niektoré z jeho najdôležitejších funkcií zahŕňajú:

• Koeficient a^tb je pravdepodobnosť, že X = b .
• Funkcie generujúce moment majú vlastnosť jedinečnosti. Ak sa funkcie generujúce moment pre dve náhodné premenné navzájom zhodujú, potom funkcie hmotnosti pravdepodobnosti musia byť rovnaké. Inými slovami, náhodné premenné opisujú rovnaké rozdelenie pravdepodobnosti.
• Funkcie generovania momentov možno použiť na výpočet momentov X .

Výpočet momentov

Posledná položka v zozname vyššie vysvetľuje názov funkcií generovania momentov a tiež ich užitočnosť. Nejaká pokročilá matematika hovorí, že za podmienok, ktoré sme stanovili, je derivácia ľubovoľného poriadku funkcie M ( t ) existuje pre kedy t = 0. Ďalej v tomto prípade môžeme zmeniť poradie sčítania a diferenciácie vzhľadom na t na získanie nasledujúcich vzorcov (všetky súčty sú nad hodnotami X v priestore vzorky S ):

• M '( t ) = S auto^TX f ( X )
• M ''( t ) = S X^dvaa^TX f ( X )
• M '''( t ) = S X³a^TX f ( X )
• M ⁽ⁿ⁾'( t ) = S Xⁿa^TX f ( X )

Ak nastavíme t = 0 vo vyššie uvedených vzorcoch, potom a^TX termín sa stáva a ⁰= 1. Získame tak vzorce pre momenty náhodnej veličiny X :

• M '(0) = A ( X )
• M ''(0) = A ( X ^dva)
• M '''(0) = A ( X ³)
• M ^{( n )}(0) = A ( Xⁿ )

To znamená, že ak funkcia generujúca moment existuje pre konkrétnu náhodnú premennú, potom môžeme nájsť jej priemer a jej rozptyl z hľadiska derivácií funkcie generujúcej moment. Priemer je M '(0) a rozdiel je M ''(0) – [ M '(0)]^dva.

Zhrnutie

Stručne povedané, museli sme sa ponoriť do nejakej veľmi výkonnej matematiky, takže niektoré veci boli ignorované. Aj keď na vyššie uvedené musíme použiť kalkul, v konečnom dôsledku je naša matematická práca zvyčajne jednoduchšia ako pri výpočte momentov priamo z definície.