Dvojrozmerná kinematika alebo pohyb v rovine

Daniel Grill / Getty Images

Tento článok načrtáva základné pojmy potrebné na analýzu pohybu objektov v dvoch dimenziách, bez ohľadu na sily, ktoré spôsobujú príslušné zrýchlenie. Príkladom tohto typu problému môže byť hádzanie lopty alebo streľba z dela. Predpokladá oboznámenosť s jednorozmerná kinematika , pretože rozširuje rovnaké koncepty do dvojrozmerného vektorového priestoru.

Výber súradníc

Kinematika zahŕňa posunutie, rýchlosť a zrýchlenie, ktoré sú všetky vektorové veličiny ktoré si vyžadujú veľkosť aj smer. Preto, ak chcete začať problém v dvojrozmernej kinematike, musíte najprv definovať súradnicový systém používate. Vo všeobecnosti to bude z hľadiska an X -os a a Y -os, orientovaná tak, že pohyb je v pozitívnom smere, aj keď môžu existovať okolnosti, kedy to nie je najlepšia metóda.

V prípadoch, keď sa berie do úvahy gravitácia, je zvykom robiť smer gravitácie záporne. Y smer. Toto je konvencia, ktorá vo všeobecnosti zjednodušuje problém, aj keď by bolo možné vykonať výpočty s inou orientáciou, ak by ste si to naozaj želali.

Vektor rýchlosti

Vektor polohy r je vektor, ktorý ide z počiatku súradnicového systému do daného bodu v systéme. Zmena polohy (Δ r , vyslovuje „Delta r ') je rozdiel medzi počiatočným bodom ( r ₁) do koncového bodu ( r _dva). Definujeme priemerná rýchlosť ( v _z ) ako:

v _z = ( r _dva- r ₁) / ( t _dva- t ₁) = D r /D t

Berúc limit ako Δ t blíži 0, dosiahneme okamžitá rýchlosť v . Z hľadiska počtu ide o derivát r s ohľadom na t , alebo d r / dt .

Keď sa časový rozdiel zmenšuje, počiatočný a koncový bod sa približujú. Od smeru o r je rovnaký smer ako v , je jasné, že vektor okamžitej rýchlosti v každom bode dráhy je dotyčnicou dráhy .

Komponenty rýchlosti

Užitočnou črtou vektorových veličín je, že ich možno rozdeliť na ich komponentné vektory. Derivácia vektora je súčtom derivátov jeho komponentov, preto:

v_X = dx / dt
v_Y = vy / dt

Veľkosť vektora rýchlosti je daná Pytagorovou vetou v tvare:

| v | = v = sqrt ( v_X ^dva+ v_Y ^dva)

Smer z v je orientovaný alfa stupňa proti smeru hodinových ručičiek od X -komponent a možno ho vypočítať z nasledujúcej rovnice:

tak alfa = v_Y / v_X

Vektor zrýchlenia

Zrýchlenie je zmena rýchlosti za dané časové obdobie. Podobne ako vo vyššie uvedenej analýze zistíme, že je to Δ v /D t . Limit tohto ako Δ t približuje sa k 0, čím sa získa derivát v s ohľadom na t .

Pokiaľ ide o komponenty, vektor zrýchlenia možno zapísať ako:

a_X = dv_X / dt
a_Y = dv_Y / dt

alebo

a_X = d ^dva X / dt ^dva
a_Y = d ^dva Y / dt ^dva

Veľkosť a uhol (označené ako beta odlíšiť sa od alfa ) čistého vektora zrýchlenia sa vypočítajú so zložkami podobným spôsobom ako pri rýchlosti.

Práca s komponentmi

Dvojrozmerná kinematika často zahŕňa rozdelenie príslušných vektorov na ich X - a Y -komponenty, potom analyzovať každý z komponentov, ako keby to boli jednorozmerné prípady. Akonáhle je táto analýza dokončená, zložky rýchlosti a/alebo zrýchlenia sa potom skombinujú, aby sa získali výsledné dvojrozmerné vektory rýchlosti a/alebo zrýchlenia.

Trojrozmerná kinematika

Všetky vyššie uvedené rovnice je možné rozšíriť pre pohyb v troch rozmeroch pridaním a s - súčasť analýzy. Toto je vo všeobecnosti pomerne intuitívne, aj keď je potrebné venovať určitú pozornosť tomu, aby sa to urobilo v správnom formáte, najmä pokiaľ ide o výpočet uhla orientácie vektora.

UpravilAnne Marie Helmenstine, Ph.D.