Úvod do vektorovej matematiky

Tatiana Kolesniková / Getty Images

Toto je základný, aj keď dúfajme, že pomerne obsiahly úvod do práce s vektormi. Vektory sa prejavujú rôznymi spôsobmi od posunutia, rýchlosti a zrýchlenia až po sily a polia. Tento článok je venovaný matematike vektorov; ich aplikácii v konkrétnych situáciách sa budeme venovať inde.

Vektory a skaláre

A vektorové množstvo , alebo vektor , poskytuje informácie nielen o veľkosti, ale aj o smere množstva. Keď dávate pokyny k domu, nestačí povedať, že je vzdialený 10 míľ, ale aby boli informácie užitočné, musíte uviesť aj smer týchto 10 míľ. Premenné, ktoré sú vektormi, budú označené tučným písmom, hoci je bežné vidieť vektory označené malými šípkami nad premennou.

Rovnako ako nehovoríme, že druhý dom je vzdialený -10 míľ, veľkosť vektora je vždy kladné číslo, alebo skôr absolútna hodnota „dĺžky“ vektora (hoci množstvo nemusí byť dĺžka, môže to byť rýchlosť, zrýchlenie, sila atď.) Zápor pred vektorom neindikuje zmenu veľkosti, ale skôr smeru vektora.

Vo vyššie uvedených príkladoch je vzdialenosť skalárne množstvo (10 míľ), ale posunutie je vektorová veličina (10 míľ na severovýchod). Podobne rýchlosť je skalárna veličina, zatiaľ čo rýchlosť je a vektor množstvo.

A jednotkový vektor je vektor, ktorý má veľkosť jedna. Vektor reprezentujúci jednotkový vektor je zvyčajne tiež tučným písmom, hoci bude mať karát ( ^ ) nad ním na označenie jednotkovej povahy premennej. Jednotkový vektor X , keď je napísané karátom, vo všeobecnosti sa číta ako 'x-hat', pretože karát vyzerá ako klobúk na premennej.

The nulový vektor , alebo nulový vektor , je vektor s nulovou veľkosťou. Píše sa ako 0 v tomto článku.

Vektorové komponenty

Vektory sú vo všeobecnosti orientované podľa súradnicového systému, z ktorých najpopulárnejšia je dvojrozmerná karteziánska rovina. Kartézska rovina má vodorovnú os označenú x a zvislú os označenú y. Niektoré pokročilé aplikácie vektorov vo fyzike vyžadujú použitie trojrozmerného priestoru, v ktorom sú osi x, y a z. Tento článok sa bude zaoberať hlavne dvojrozmerným systémom, hoci koncepty možno s určitou starostlivosťou bez väčších problémov rozšíriť na tri dimenzie.

Vektory vo viacrozmerných súradnicových systémoch možno rozdeliť na svoje komponentné vektory . V dvojrozmernom prípade to vedie k a x-komponent a a y-komponent . Pri rozdelení vektora na jeho komponenty je vektor súčtom komponentov:

F = F_X + F_Y

theta F_XF_YF

F_X / F = cos theta a F_Y / F = bez theta ktorý nám dáva
F_X = F cos theta a F_Y = F bez theta

Všimnite si, že čísla tu sú veľkosti vektorov. Poznáme smer komponentov, ale snažíme sa nájsť ich veľkosť, takže odstránime smerové informácie a vykonáme tieto skalárne výpočty, aby sme zistili veľkosť. Ďalšia aplikácia trigonometrie môže byť použitá na nájdenie ďalších vzťahov (napríklad tangens) súvisiacich medzi niektorými z týchto veličín, ale myslím, že to zatiaľ stačí.

Dlhé roky jediná matematika, ktorú sa študent učí, je skalárna matematika. Ak cestujete 5 míľ na sever a 5 míľ na východ, prešli ste 10 míľ. Pridávanie skalárnych veličín ignoruje všetky informácie o smeroch.

S vektormi sa manipuluje trochu inak. Pri manipulácii s nimi treba vždy brať do úvahy smer.

Pridávanie komponentov

Keď pridáte dva vektory, je to, ako keby ste vzali vektory a umiestnili ich od konca po koniec a vytvorili nový vektor prebiehajúci od počiatočného bodu po koncový bod. Ak majú vektory rovnaký smer, znamená to len sčítanie magnitúd, ale ak majú rôzne smery, môže to byť zložitejšie.

Vektory pridáte tak, že ich rozdelíte na ich komponenty a potom pridáte komponenty, ako je uvedené nižšie:

a + b = c
a_X + a_Y + b_X + b_Y =
( a_X + b_X ) + ( a_Y + b_Y ) = c_X + c_Y

Výsledkom dvoch x-ových komponentov bude x-ový komponent novej premennej, zatiaľ čo dva y-ové komponenty budú mať za následok y-ový komponent novej premennej.

Vlastnosti sčítania vektorov

Na poradí, v ktorom pridávate vektory, nezáleží. V skutočnosti niekoľko vlastností zo skalárneho sčítania platí pre vektorové sčítanie:

Vlastnosť identity pridania vektora
a + 0 = a
Inverzná vlastnosť sčítania vektorov
a + - a = a - a = 0
Reflexná vlastnosť pridania vektora
a = a
Komutatívna vlastnosť sčítanie vektorov
a + b = b + a
Asociačná vlastnosť sčítania vektorov
( a + b ) + c = a + ( b + c )
Tranzitívna vlastnosť sčítania vektorov
Ak a = b a c = b , potom a = c

Najjednoduchšia operácia, ktorú možno vykonať s vektorom, je vynásobiť ho skalárom. Toto skalárne násobenie mení veľkosť vektora. Inými slovami, robí vektor dlhším alebo kratším.

Pri vynásobení záporného skalára krát bude výsledný vektor ukazovať opačným smerom.

The skalárny produkt dvoch vektorov je spôsob, ako ich spolu vynásobiť, aby sme získali skalárnu veličinu. Toto je napísané ako násobenie dvoch vektorov, pričom bodka v strede predstavuje násobenie. Ako taký sa často nazýva skalárny súčin dvoch vektorov.

Na výpočet bodového súčinu dvoch vektorov zvážte uhol medzi nimi. Inými slovami, ak by zdieľali rovnaký východiskový bod, aké by bolo meranie uhla ( theta ) medzi nimi. Bodový produkt je definovaný ako:

a * b = ab cos theta

ab abba

V prípadoch, keď sú vektory kolmé (resp theta = 90 stupňov), cos theta bude nula. preto bodový súčin kolmých vektorov je vždy nula . Keď sú vektory paralelný (alebo theta = 0 stupňov), cos theta je 1, takže skalárny súčin je len súčinom veličín.

Tieto úhľadné malé fakty môžu byť použité na dôkaz toho, že ak poznáte komponenty, môžete úplne eliminovať potrebu theta pomocou (dvojrozmernej) rovnice:

a * b = a_Xb_X + a_Yb_Y

The vektorový produkt sa píše vo forme a X b , a zvyčajne sa nazýva krížový produkt dvoch vektorov. V tomto prípade násobíme vektory a namiesto skalárnej veličiny dostaneme vektorovú veličinu. Toto je najzložitejší z vektorových výpočtov, s ktorými sa budeme zaoberať nie komutatívny a zahŕňa použitie obávaného pravidlo pravej ruky , ku ktorému sa čoskoro dostanem.

Výpočet veľkosti

Opäť uvažujeme dva vektory nakreslené z rovnakého bodu s uhlom theta medzi nimi. Vždy berieme najmenší uhol, takže theta bude vždy v rozsahu od 0 do 180 a výsledok preto nikdy nebude záporný. Veľkosť výsledného vektora sa určí takto:

Ak c = a X b , potom c = ab bez theta

Vektorový súčin paralelných (alebo antiparalelných) vektorov je vždy nula

Smer vektora

Vektorový súčin bude kolmý na rovinu vytvorenú z týchto dvoch vektorov. Ak si predstavíte rovinu ako rovnú na stole, vyvstáva otázka, či výsledný vektor pôjde nahor (z našej perspektívy „mimo“ zo stola) alebo nadol (alebo „do stola“ z našej perspektívy).

Obávané pravidlo pravej ruky

Aby ste to zistili, musíte použiť to, čo sa nazýva pravidlo pravej ruky . Keď som študoval fyziku v škole, I nenávidel pravidlo pravej ruky. Vždy, keď som ju použil, musel som knihu vytiahnuť, aby som zistil, ako to funguje. Dúfam, že môj popis bude o niečo intuitívnejší ako ten, s ktorým som bol predstavený.

Ak máte a X b po dĺžke položíte pravú ruku b aby sa vaše prsty (okrem palca) mohli ohnúť a smerovať pozdĺž a . Inými slovami, snažíte sa vytvoriť uhol theta medzi dlaňou a štyrmi prstami pravej ruky. Palec bude v tomto prípade trčať priamo nahor (alebo mimo obrazovky, ak sa to pokúsite urobiť až k počítaču). Vaše kĺby budú zhruba zarovnané s počiatočným bodom dvoch vektorov. Presnosť nie je podstatná, ale chcem, aby ste to pochopili, pretože nemám k dispozícii žiadny obrázok.

Ak však uvažujete b X a , urobíte opak. Priložíte pravú ruku a a ukážte prstami b . Ak sa to pokúsite urobiť na obrazovke počítača, zistíte, že je to nemožné, takže použite svoju predstavivosť. Zistíte, že v tomto prípade váš nápaditý palec smeruje do obrazovky počítača. To je smer výsledného vektora.

Pravidlo pravej ruky ukazuje nasledujúci vzťah:

a X b = - b X a

cabc

c_X = a_Yb_s - a_sb_Y
c_Y = a_sb_X - a_Xb_s
c_s = a_Xb_Y - a_Yb_X

ab c_Xc_Y c

Záverečné slová

Na vyšších úrovniach môže byť práca s vektormi mimoriadne komplikovaná. Celé kurzy na vysokej škole, ako napríklad lineárna algebra, venujú veľa času maticám (ktorým som sa v tomto úvode láskavo vyhol), vektorom a vektorové priestory . Táto úroveň detailov presahuje rozsah tohto článku, ale mala by poskytnúť základy potrebné pre väčšinu manipulácií s vektormi, ktoré sa vykonávajú v triede fyziky. Ak máte v úmysle študovať fyziku do väčšej hĺbky, počas vášho vzdelávania sa zoznámite so zložitejšími vektorovými konceptmi.