Čo sú momenty v štatistike?

Compassionate Eye/Foundation/Robert Daly/OJO Images/Getty Images

Momenty v matematickej štatistike zahŕňajú základný výpočet. Tieto výpočty možno použiť na nájdenie priemeru, rozptylu a šikmosti rozdelenia pravdepodobnosti.

Predpokladajme, že máme súbor údajov s celkovým počtom n diskrétne bodov. Jeden dôležitý výpočet, ktorý je v skutočnosti niekoľkými číslami, sa nazýva s moment. The s moment súboru údajov s hodnotami X ₁, X _dva, X ₃, ... , X_n je daný vzorcom:

( X ₁ ^s + X _dva ^s + X ₃ ^s + ... + X_n^s )/ n

Použitie tohto vzorca vyžaduje, aby sme boli opatrní pri našom poradí operácií. Najprv musíme urobiť exponenty, sčítať a potom vydeliť tento súčet n celkový počet hodnôt údajov.

Poznámka k pojmu „moment“

Termín moment bol prevzatý z fyziky. Vo fyzike sa moment sústavy hmôt bodov vypočíta podľa vzorca identického so vzorcom uvedeným vyššie a tento vzorec sa používa na nájdenie ťažiska bodov. V štatistike už hodnoty nie sú masové, ale ako uvidíme, momenty v štatistike stále merajú niečo relatívne k stredu hodnôt.​

Prvý moment

V prvom momente sme sa nastavili s = 1. Vzorec pre prvý moment je takýto:

( X ₁X_dva+ X ₃+ ... + X_n )/ n

Toto je identické so vzorcom pre vzorku priemerný .

Prvý moment hodnôt 1, 3, 6, 10 je (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.

Druhý moment

Na druhý moment sme zasadli s = 2. Vzorec pre druhý moment je:

( X ₁^dva+ X _dva^dva+ X ₃^dva+ ... + X_n ^dva)/ n

Druhý moment hodnôt 1, 3, 6, 10 je (1^dva+ 3^dva+ 6^dva+ 10^dva)/4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36,5.

Tretí moment

Na tretí moment sme zasadli s = 3. Vzorec pre tretí moment je:

( X ₁³+ X _dva³+ X ₃³+ ... + X_n ³)/ n

Tretí moment hodnôt 1, 3, 6, 10 je (1³+ 3³+ 6³+ 10³)/4 = (1 + 27 + 216 + 1 000)/4 = 1244/4 = 311.

Vyššie momenty sa dajú vypočítať podobným spôsobom. Stačí vymeniť s vo vyššie uvedenom vzorci s číslom označujúcim požadovaný okamih.

Moments About the Mean

Súvisiaca myšlienka je s moment o priemere. V tomto výpočte vykonáme nasledujúce kroky:

1. Najprv vypočítajte priemer hodnôt.
2. Potom odpočítajte tento priemer od každej hodnoty.
3. Potom povýšte každý z týchto rozdielov na s moc.
4. Teraz pridajte čísla z kroku #3.
5. Nakoniec túto sumu vydeľte počtom hodnôt, s ktorými sme začali.

Vzorec pre s moment o priemere m z hodnôt hodnôt X ₁, X _dva, X ₃, ..., X_n je daný:

m_s = (( X ₁- m ) ^s + ( X _dva- m ) ^s + ( X ₃- m ) ^s + ... + ( X_n - m ) ^s )/ n

Prvý moment o priemere

Prvý moment o priemere je vždy rovný nule, bez ohľadu na to, s akým súborom údajov pracujeme. To možno vidieť v nasledujúcom:

m ₁= (( X ₁- m ) + ( X _dva- m ) + ( X ₃- m ) + ... + ( X_n - m ))/ n = (( X ₁+ X _dva+ X ₃+ ... + X_n ) - nm )/ n = m - m = 0.

Druhý moment o priemere

Druhý moment o priemere sa získa z vyššie uvedeného vzorca nastavením s = 2:

m _dva= (( X ₁- m )^dva+ ( X _dva- m )^dva+ ( X ₃- m )^dva+ ... + ( X_n - m )^dva)/ n

Tento vzorec je ekvivalentný vzorcu pre rozptyl vzorky.

Uvažujme napríklad množinu 1, 3, 6, 10. Už sme vypočítali priemer tejto množiny na 5. Odčítajte to od každej z hodnôt údajov, aby ste získali rozdiely:

• 1 – 5 = -4
• 3 – 5 = -2
• 6 – 5 = 1
• 10 – 5 = 5

Odmocníme každú z týchto hodnôt a spočítame ich: (-4)^dva+ (-2)^dva+ 1^dva+ 5^dva= 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Nakoniec toto číslo vydeľte počtom údajových bodov: 46/4 = 11,5

Aplikácie momentov

Ako bolo uvedené vyššie, prvý moment je priemer a druhý moment priemeru je vzorkarozptyl. Karl Pearson zaviedol použitie tretieho momentu o priemere pri výpočte krivica a štvrtý moment o priemere pri výpočte špičatosť .