Ako používať „ak a len ak“ v matematike
Courtney Taylor
Keď čítate o štatistike a matematike, jedna fráza, ktorá sa pravidelne objavuje, je vtedy a len vtedy. Táto fráza sa objavuje najmä vo výrokoch matematických teorémov alebo dôkazov. Ale čo presne toto vyhlásenie znamená?
Čo v matematike znamená ak a len ak?
Aby sme pochopili, či a len vtedy, musíme najprv vedieť, čo sa myslí podmienečným vyhlásením. Podmienený výrok je taký, ktorý je vytvorený z dvoch ďalších výrokov, ktoré označíme P a Q. Na vytvorenie podmieneného výroku by sme mohli povedať, ak P potom Q.
Nasledujú príklady tohto druhu vyhlásení:
- Ak vonku prší, tak si na prechádzku beriem dáždnik.
- Ak budete tvrdo študovať, získate A.
- Ak n je deliteľné 4, teda n je deliteľné 2.
Converse a Conditional
Tri ďalšie výroky súvisia s akýmkoľvek podmieneným výrokom. Tieto sa nazývajú konverzný, inverzný a kontrapozitívny . Tieto výroky tvoríme zmenou poradia P a Q z pôvodného kondicionálu a vložením slova nie pre inverzné a kontrapozitívne.
Tu musíme brať do úvahy len opak. Toto tvrdenie sa získa z originálu tak, že povieme, ak Q potom P. Predpokladajme, že začneme s podmienečným stavom, ak vonku prší, potom si na prechádzku beriem so sebou dáždnik. Opak tohto tvrdenia je, že ak si na prechádzku vezmem so sebou dáždnik, vonku prší.
Stačí, aby sme uvažovali o tomto príklade, aby sme si uvedomili, že pôvodný kondicionál nie je logicky rovnaký ako jeho premenný. Zámena týchto dvoch foriem vyjadrení je známa ako a obrátiť chybu . Na prechádzku by ste si mohli vziať dáždnik, aj keď vonku možno neprší.
V ďalšom príklade uvažujeme podmienku Ak je číslo deliteľné 4, potom je deliteľné 2. Toto tvrdenie je jednoznačne pravdivé. Avšak opak tohto tvrdenia Ak je číslo deliteľné 2, potom je deliteľné 4 je nepravdivé. Stačí sa pozrieť na číslo, ako je 6. Hoci 2 delí toto číslo, 4 nie. Zatiaľ čo pôvodný výrok je pravdivý, jeho opak nie je pravdivý.
Dvojpodmienečné
To nás privádza k dvojpodmienečnému výroku, ktorý je známy aj ako výrok „ak a len ak“. Niektoré podmienené výroky majú aj konverzácie, ktoré sú pravdivé. V tomto prípade môžeme vytvoriť to, čo je známe ako bipodmienkové vyhlásenie. Dvojpodmienkové vyhlásenie má tvar:
Ak P, potom Q a ak Q, potom P.
Od tohto výstavby je trochu nešikovné, najmä keď P a Q sú ich vlastné logické výroky, zjednodušíme výrok bipodmienky použitím frázy „ak a len vtedy“. Namiesto toho, aby sme povedali „ak P, potom Q, a ak Q, potom P“, namiesto toho povieme „P vtedy a len vtedy, ak Q.“ Táto konštrukcia eliminuje určitú nadbytočnosť.
Príklad štatistiky
Príklad frázy, ak a len vtedy, ak ide o štatistiku, nehľadajte ďalej ako fakt týkajúci sa štandardnej odchýlky vzorky. Vzorová smerodajná odchýlka súboru údajov sa rovná nula vtedy a len vtedy, ak sú všetky hodnoty údajov identické.
Tento dvojpodmienkový výrok rozdelíme na podmienku a jeho obrátenie. Potom vidíme, že toto vyhlásenie znamená oboje z nasledujúcich:
- Ak je štandardná odchýlka nula, potom sú všetky hodnoty údajov identické.
- Ak sú všetky hodnoty údajov identické, potom sa štandardná odchýlka rovná nule.
Dôkaz o dvojpodmienečnosti
Ak sa pokúšame dokázať dvojpodmienku, väčšinou ju rozdelíme. Vďaka tomu má náš dôkaz dve časti. Jedna časť, ktorú dokážeme, je, ak P, potom Q. Druhá časť dôkazu, ktorú potrebujeme, je, ak Q potom P.
Nevyhnutné a dostatočné podmienky
Dvojpodmienkové výroky súvisia s podmienkami, ktoré sú nevyhnutné aj dostatočné. Zvážte vyhlásenie, ak je dnes Veľká noc , tak zajtra je pondelok. Dnes, keď je Veľká noc, stačí, aby zajtra bol pondelok, nie je to však potrebné. Dnes môže byť iná nedeľa ako Veľká noc a zajtra bude stále pondelok.
Skratka
Fráza if and only if sa v matematickom písaní používa natoľko bežne, že má svoju vlastnú skratku. Niekedy sa dvojpodmienka vo výroku frázy if and only if skráti na jednoducho iff. Teda výrok P vtedy a len vtedy, ak sa Q stane P, ak Q.