Čo sú konverzné, kontrapozitívne a inverzné?

Corbis/VCG cez Getty Images / Getty Images

Podmienečné vyhlásenia sa objavujú všade. V matematike alebo inde netrvá dlho, kým narazíte na niečo v tvare If P potom Q . Podmienečné vyhlásenia sú skutočne dôležité. Dôležité sú aj príkazy, ktoré súvisia s pôvodným podmieneným príkazom zmenou polohy P , Q a negácia výroku. Počnúc pôvodným výrokom skončíme tromi novými podmienenými výrokmi, ktoré sa nazývajú konverzný, protikladný a inverzný .

Negácia

Predtým, ako definujeme konverzný, kontrapozitívny a inverzný podmienkový výrok, musíme preskúmať tému negácie. Každý výrok v logika je buď pravda alebo nepravda. Negácia výroku jednoducho zahŕňa vloženie slova nie do správnej časti výroku. Pridanie slova nie sa robí tak, že mení pravdivosť výroku.

Pomôže pozrieť sa na príklad. Vyhlásenie The správny trojuholník je rovnostranný má negáciu Pravý trojuholník nie je rovnostranný. Negácia 10 je párne číslo je výrok 10 nie je párne číslo. Samozrejme, pre tento posledný príklad by sme mohli použiť definíciu nepárneho čísla a namiesto toho povedať, že 10 je nepárne číslo. Poznamenávame, že pravdivosť výroku je opakom negácie.

Túto myšlienku preskúmame v abstraktnejšom prostredí. Keď vyhlásenie P je pravda, tvrdenie nie P je nepravdivé. Podobne, ak P je falošný, jeho negácia nie P je pravda. Negácie sa bežne označujú vlnovkou ~. Takže namiesto písania nie P môžeme písať ~ P .

Converse, Contrapositive a Inverse

Teraz môžeme definovať konverzný, kontrapozitívny a inverzný podmienkový príkaz. Začneme podmieneným príkazom If P potom Q .

• Opakom podmieneného príkazu je If Q potom P .
• Kontrapozitívom podmieneného výroku je Ak nie Q potom nie P .
• Inverzná k podmienenému príkazu je Ak nie P potom nie Q .

Ako tieto tvrdenia fungujú, uvidíme na príklade. Predpokladajme, že začneme podmienečným vyhlásením Ak včera v noci pršalo, tak je chodník mokrý.

• Opakom podmienečného výroku je Ak je chodník mokrý, tak včera večer pršalo.
• Kontrapozitívom podmienečného výroku je Ak chodník nie je mokrý, tak včera večer nepršalo.
• Inverzná k podmienečnej výpovedi je Ak včera večer nepršalo, tak chodník nie je mokrý.

Logická ekvivalencia

Môžeme sa čudovať, prečo je dôležité tvoriť tieto ďalšie podmienené vyhlásenia z nášho pôvodného. Pozorný pohľad na vyššie uvedený príklad niečo odhalí. Predpokladajme, že pôvodné tvrdenie Ak včera večer pršalo, tak chodník je mokrý, je pravdivé. Ktoré z ostatných tvrdení musí byť tiež pravdivé?

• Opak Ak je chodník mokrý, tak minulú noc pršalo, nemusí to byť pravda. Chodník mohol byť mokrý z iných dôvodov.
• Inverzná situácia Ak včera večer nepršalo, tak chodník nie je mokrý, nemusí to byť pravda. Opäť to, že nepršalo, neznamená, že chodník nie je mokrý.
• Kontrapozitív Ak nie je mokrý chodník, tak včera večer nepršalo, je pravdivé tvrdenie.

Z tohto príkladu vidíme (a čo sa dá matematicky dokázať), že podmienený výrok má rovnakú pravdivostnú hodnotu ako jeho protiklad. Hovoríme, že tieto dva výroky sú logicky ekvivalentné. Vidíme tiež, že podmienený príkaz nie je logicky ekvivalentný svojmu konverznému a inverznému.

Keďže podmienený výrok a jeho protiklad sú logicky ekvivalentné, môžeme to využiť vo svoj prospech pri dokazovaní matematických teorémov. Namiesto priameho dokazovania pravdivosti podmieneného tvrdenia môžeme namiesto toho použiť stratégiu nepriameho dokazovania, ktorou je dokazovanie pravdivosti protikladu tohto tvrdenia. Kontrapozitívne dôkazy fungujú, pretože ak je protiklad pravdivý, v dôsledku logickej ekvivalencie je pravdivý aj pôvodný podmienený výrok.

Ukazuje sa, že aj keď converse a inverse nie sú logicky ekvivalentné pôvodnému podmienenému príkazu , sú si navzájom logicky ekvivalentné. Existuje na to jednoduché vysvetlenie. Začneme podmieneným príkazom If Q potom P . Protiklad tohto tvrdenia je Ak nie P potom nie Q . Keďže inverzia je kontrapozitívom konverzácie, inverzná a inverzná sú logicky ekvivalentné.