Základné problémy filozofie matematiky

Najjednoduchšie otázky vo filozofii matematiky poukazujú na hlboké problémy: prečo je 1+1 = 2? Prečo tvrdenie „1+1 = 2“ cítiť tak veľmi odlišné od výroku ako „včera pršalo“? Čo vlastne myslíme pod „1“, „2“,...? Existuje „1“? Ak áno, ako a kde? Tieto otázky mali filozofi k dispozícii tak dlho, ako sa matematika praktizovala. Sú, rovnako ako mnohé z filozofických otázok, veľmi všeobecné a veľmi ťažké na ne odpovedať – aby sme dali skutočný zmysel výrokom ako „1+1 = 2“, zdá sa, že človek potrebuje veľa filozofickej mašinérie, ako to bolo v prípade predmoderné vpády do filozofie matematiky. Od Platóna, cez Leibniza až po Kanta, odpovede na vyššie uvedené otázky viedli a tvorili súčasť väčšieho systému: filozofie matematiky.

Filozofia matematiky: Od najjednoduchších k najzložitejším otázkam

Matematika aj filozofia sa za nie veľmi dlho zmenili strašne veľa. Staré obavy stále vedú skúmanie: filozofi matematiky potrebujú určiť, aký druh existencie je priznaný objektom ako „1“ a „kruh“ a aký druh pravdy majú výroky ako „1+1 = 2“. Moderná matematika však kladie filozofom nové a znepokojujúce otázky a poukazuje na predmety, ktorých povahu je ešte ťažšie určiť. Tieto otázky priniesli také rozmanité a zdanlivo nezlučiteľné odpovede, že filozofia matematiky sa môže zdať ako zvláštny šport, v ktorom si človek vyberie stranu a nábožensky ju bráni proti všetkým ostatným. Je dôležité poznamenať, že existuje toľko „stránok“, že by bolo nemožné dúfať, že ich všetky pokryjete v takom krátkom úvode, ako je ten, ktorý práve čítate.

To vôbec neznamená, že filozofia matematiky trpí nejakou väčšou názorovou rozmanitosťou ako iné oblasti filozofie. Aby ste však mali pocit, že je to zložité filozofické myslenie o matematike, je najlepšie nestratiť zo zreteľa matematické obavy, ktoré sú za týmito rôznymi školami. Zvláštnou črtou filozofie matematiky je tendencia, že skutočná matematika, a nielen filozofia, vyrastie z filozofického skúmania, a rovnako aj matematický pokrok narazí na hlboké základné problémy. Filozofia matematiky na jednej strane a metamatematika (náuka o základoch matematiky pomocou matematických techník) na strane druhej spolu celkom priamo historicky súvisia a jedna pre druhú sa stáva čoraz dôležitejšou.

David Hilbert: Veľký projekt v (filozofii) matematiky

Pozrime sa na historický oblúk, ktorý sa dotýka mnohých kľúčových otázok filozofie matematiky, mikrokozmos súhry medzi čistou filozofiou a čistou matematikou: projekt matematika Davida Hilberta a najmä jeho spor s iným vplyvným mysliteľom , L.E.J. Brouwer. Ako čistá matematika dozrela v 19. storočí a stala sa čoraz abstraktnejšími a neintuitívnymi predstavami, matematici aj filozofi jasne videli potrebu seriózne preskúmať základy tohto predmetu. Medzi nimi bol Hilbert, ústredný hráč v snahe položiť základy pre logickú a robustnú tému z praktického hľadiska. Dúfal, že názor, že matematika je dokonalá, racionálna veda, zdieľaná toľkými filozofmi, prevedie do niečoho konkrétneho.

Hilbertova myšlienka bola motivovaná tým, čo bolo v jeho dobe hlboko moderným vývojom v matematike. Najmä chcel dať trvalý domov v matematike transfinitný . Práca z Bolzano a Cantor v teórii množín (množina je naivne len súborom vecí organizovaných pod štítkom) sa vážne a dôsledne zaoberala myšlienkou skutočné nekonečno; to znamená, že nekonečným objektom je priznaná ich vlastná existencia. Napríklad súbor všetky celé čísla {1, 2, ...} ako samotný objekt je skutočne nekonečný; na druhej strane, pri zaobchádzaní len s ľubovoľne veľkými číslami stačí len pojem potenciál nekonečný, ktorý bol po stáročia súčasťou ontologického súboru nástrojov matematikov. Filozofi všetkých čias vyvodili tento rozdiel – pojem skutočného nekonečna sám o sebe nebol nový. Napriek tomu Cantor po prvýkrát načrtol svoje dôsledky v teórii množín. Kľúčom bol jednoduchý spôsob prehodnotenia pojmu číslo.

Množiny, počítanie a nekonečno

Naša každodenná predstava o veľkosť súpravy zredukuje na jednoduché počítanie: ak vezmeme do úvahy dve zbierky vecí, môžeme zistiť, či sú alebo nie sú rovnako veľké, spočítaním vecí v každej zbierke a porovnaním odpovedí – ja mám tri jablká, ty máš tri banány. Cantor sa zavŕtal do pojmu „mať rovnakú veľkosť ako“ a abstrahoval pojem individuálna korešpondencia: sady majú rovnakú veľkosť, ak sa dajú spárovať ich prvky – ak ku každému z vašich banánov môžem priradiť práve jedno z mojich jabĺk. Ale s touto jednoduchou abstrakciou dostaneme zadarmo spôsob, ako hovoriť o „veľkosti“ nekonečných množín: môžeme nazvať dve nekonečné kolekcie rovnako veľké, ak ich dokážeme dať do takejto korešpondencie jedna k jednej. Ako sa ukázalo, existuje nekonečné množstvo množín, ktoré nemožno takto vzájomne spájať. Stáva sa, že je napríklad „viac“ reálne čísla (teda celý číselný rad – nekonečné desatinné miesta a všetky) ako celé čísla, napriek tomu, že obe kolekcie sú nekonečné.

Cantorova veta: Nekonečné nekonečno

Stáva sa to čudnejšie - Cantorova veta nám v podstate hovorí, že existujú veľa rôznych nekonečných: v skutočnosti nekonečne veľa a vzhľadom na akúkoľvek nekonečnú zbierku sa vždy nájde jedna väčšia. Tento nový spôsob zaobchádzania s pojmom číslo viedol k štúdiu o kardináli, ktoré sú v istom zmysle radikálnym rozšírením počítania, ktoré nám umožňuje hovoriť o najrôznejších skutočných nekonečnostiach.

Tieto podivné javy vedú k tomu, že mnohí poprední matematici sa násilne bránia tomuto novému skutočnému nekonečnu, ako napríklad Henri Poincaré, ktorý vyhlásil, že „Neexistuje žiadne skutočné nekonečno, Kantoriáni na to zabudli a dostali sa do protirečenia. Cantorove myšlienky, hoci sú teraz v matematike takmer všadeprítomné, neboli spočiatku vôbec populárne.

Ale pre niektorých – medzi nimi aj Hilberta – bol tento zlom od konečnosti veľkým víťazstvom pre slobodný rozvoj matematiky. Pre Hilberta bola matematická spoľahlivosť Cantorovho nekonečna vecou veľkého estetického významu, ako možno pochopiť z jeho notoricky známeho citátu: „F z raja, ktorý pre nás Cantor vytvoril, nás nikto nebude môcť vyhnať “.

Matematický realizmus vs. matematický formalizmus

Rozdiely v perspektívach vo filozofii matematiky môžu byť čiastočne kalibrované postojmi k týmto novým nekonečnostiam. Hilbertov pohľad ho postavil priamo do opozície k inému prominentnému mysliteľovi L. E. J. Brouwerovi, čo viedlo k neslávne známej filozofickej rivalite.

Hilbert videl matematiku ako druh hry, ktorá sa zaoberá čisto manipuláciou so symbolmi podľa určitých pravidiel, názor známy ako formalizmus . Tento pohľad nevyhnutne nezakazuje interpretovať túto „formulovú hru“ ako takú alebo onakú spojenú s realitou, ale vo svojej základnej forme si vyžaduje o niečo menej oddanosti problematickým matematickým „entitám“ ako staršie formy matematický realizmus , ako napr platonizmus (pohľad datovania, prirodzene, späť Miska , ktorý tvrdí, že matematické objekty ako „1“ a „kruh“ skutočne existujú ako pretrvávajúce objekty spôsobom, ktorý je nezávislý od nás a od nášho chápania ich). Brouwer chápal matematiku tretím spôsobom radikálne odlišným od oboch týchto perspektív.

Jednou z najznámejších Hilbertových teorémov a jadrom hlbokej nezhody medzi ním a Brouwerom je jeho tzv. Základná veta . Jemnejšie detaily sú irelevantné: to, čo bolo pre filozofov zaujímavé a pre Brouwera problematické, bol spôsob, akým to Hilbert dokázal. Hilbertova základná veta je existenčná veta – má formu „ existuje aspoň jedno X“. Matematici, ktorí majú za úlohu ukázať, že „existuje aspoň jedno X“, môžu použiť jeden z dvoch prístupov: musia buď ukázať, ako také X nájsť, alebo ukázať, že je nemožné že také X neexistuje. Dôkazy prvého druhu sa nazývajú konštruktívny , a dôkazy druhého druhu sú tzv nekonštruktívne. Hilbertov dôkaz základnej vety bol nekonštruktívny. Brouwer namietal: založil a vášnivo obhajoval prístup k matematickej filozofii známy ako intuicionizmus .

Intuicionizmus a konštruktivizmus

Intuicionista odmieta považovať matematické objekty za veci, ktoré neboli skonštruované činnosťou mysle. Pre Brouwera boli nekonštruktívne dôkazové techniky typu používaného Hilbertom vážnym problémom. Širšia škola matematickej filozofie, ktorá odmieta tieto nekonštruktívne dôkazy, je známa ako konštruktivizmu . Konštruktivisti často odmietajú existenciu skutočného nekonečna v matematike, ktorá je ako nezávislý pohľad známa ako finitizmus (spolu so svojím pomerne okrajovým bratrancom, ultrafinitizmus , ktorý odmieta dokonca aj konečné objekty, ktoré sú „príliš veľké na to, aby sa dali rozumne postaviť“). Hilbert a Brouwer tak ponúkli nielen rôzne pohľady na realitu a platnosť matematických objektov, ale aj radikálne odlišné spôsoby robenia matematiky.

Obaja splodili novú štúdiu v samotnej matematickej logike: intuicionistická logika študuje logické systémy bez zákona vylúčeného stredu a je dodnes aktívnou oblasťou výskumu. Ešte notorickejšie však je, že raný formalistický prístup Hilberta mal ako optimistický cieľ vytvorenie axiomatického systému (axiómy sú počiatočné tvrdenia vždy považované za pravdivé), z ktorého by sa dala odvodiť všetka matematika a ktorý bol sám o sebe bez rozporov. Tieto pojmy – resp úplnosť a konzistencia v matematickej logike – oboje sa zdalo byť úplne rozumné pýtať sa na vaše vybrané matematické základy.

V roku 1900 Hilbert zverejnil zoznam 23 problémov, ktoré považoval za špičku vtedajšej súčasnej matematiky. Na druhom mieste v zozname bolo ukázať, že jeho axiómy aritmetiky sú konzistentné. Tento systém axióm ponúkal zvyčajné základné aritmetické štruktúry, ktoré poznáme – čísla, sčítanie, odčítanie atď. – a dúfalo sa, že sú dostatočne silné na formalizáciu zvyšku matematiky.

Gödelova veta o neúplnosti: Problémy v raji

Teraz neslávne známe dve teorémy o neúplnosti Kurta Gödela zastavili hviezdnejšie interpretácie Hilbertovho projektu tým, že ukázali, že Nie systém axióm obsahujúcich aritmetiku môže preukázať svoju vlastnú konzistenciu. Sú to presné a jemné logické teorémy a filozofi boli opatrní pri zvažovaní ich dôsledkov pre matematický realizmus (Gödel sám bol stále zanieteným platónikom).

Aj keď Hilbertov program nebol nevyhnutne po úplnom zastavení po Gödelovi boli vety prelomovým momentom pre matematickú logiku – a odvtedy sú predmetom nekonečných filozofických diskusií. Hilbertov prístup nebol prvým ani posledným slovom o axiomatických základoch matematiky. Existovalo veľa veľkých projektov.

Frege a neskôr Russell viedli logik prístup, ktorého cieľom bolo zredukovať matematické vety na výroky logiky. Russell, ako je známe, našiel vážny problém vo Fregeho prístupe – jedna z jeho axióm, ktorá mala umožniť vytvorenie množiny vyvolaním množiny všetkých vecí uspokojujúcich danú vlastnosť, sa dostala do rozporu, teraz známeho ako Russellov paradox: že množina všetkých množín neobsahujúcich samy seba, nezmyselná entita, je povolená týmto zákonom. Na druhej strane sa zdalo, že Gödelove teorémy pribrzdili Russellove vlastné logické ambície a matematici sa obrátili na menej ambiciózne prístupy. Frege a Russell boli obaja neoddeliteľnou súčasťou raného vývoja Ludwig Wittgenstein , ktorého práca má široké spektrum ďalších dôsledkov pre filozofiu matematiky, vrátane postavenia logiky a ich vzťahu k prirodzenému jazyku.

Staré otázky, nové otázky: Budúcnosť filozofie matematiky

Nakoniec sa našlo funkčné riešenie problému axiomatizácie teórie množín v podobe Zermelo-Fraenkelových axióm (spolu s axiómou výberu, historicky kontroverznou, ak dnes menej kontroverznou)... V praktickom zmysle táto ontológia – ktorá obsahuje iba jeden objekt, a nastaviť , z ktorej je všetko skonštruované – je v súčasnosti pre matematikov „predvolená“ (aj keď v žiadnom prípade nie jediná voľba).

Zermelo-Fraenkelova teória množín leží na celej ceste od filozofických špekulácií ku konkrétnym matematickým znalostiam – teraz je sama o sebe matematickým objektom, ktorý študujú logici. Ale rovnako ako Cantorova predstava nastaviť spochybnil spôsob, akým filozofi uvažujú o matematike, takže novšie abstrakcie začínajú robiť to isté, pretože nové základné prístupy prichádzajú a odchádzajú. Nielenže sú staré otázky stále čerstvé, ale nové otázky sa vynárajú z nových myšlienok v matematike, ktoré nikdy nezamestnajú filozofov, pretože sa prehlbuje súhra medzi filozofiou a matematikou.