Pravdepodobnosť hodu tromi kockami

Igor Galich / EyeEm / Getty Images

Kocky poskytujú skvelé ilustrácie pojmy v pravdepodobnosti . Najčastejšie používané kocky sú kocky so šiestimi stranami. Tu uvidíme, ako vypočítať pravdepodobnosti hodu tromi štandardnými kockami. Je pomerne štandardným problémom vypočítať pravdepodobnosť súčtu získaného o hod dvoma kockami . K dispozícii je celkom 36 rôznych hodov dvoma kockami s ľubovoľným súčtom od 2 do 12. Ako sa problém zmení, ak pridáme viac kociek?

Možné výsledky a sumy

Rovnako ako jedna kocka má šesť výsledkov a dve kocky majú 6^dva= 36 výsledkov, experiment pravdepodobnosti hodu tromi kockami má 6³= 216 výsledkov. Táto myšlienka sa ďalej zovšeobecňuje pre viac kociek. Ak rolujeme n kocky, potom je ich 6 ⁿ výsledky.

Môžeme tiež zvážiť možné sumy z hodu niekoľkými kockami. Najmenšia možná suma nastane, keď sú všetky kocky najmenšie alebo každá jedna. To dáva súčet tri, keď hádžeme tromi kockami. Najvyššie číslo na kocke je šesť, čo znamená, že najväčší možný súčet nastane, keď sú všetky tri kocky šestky. Súčet tejto situácie je 18.

Kedy n kockou sa hádže najmenší možný súčet n a najvyšší možný súčet je 6 n .

• Existuje jeden možný spôsob, ako môžu tri kocky dať dokopy 3
• 3 spôsoby pre 4
• 6 za 5
• 10 za 6
• 15 za 7
• 21 za 8
• 25 za 9
• 27 za 10
• 27 za 11
• 25 za 12
• 21 za 13
• 15 za 14
• 10 za 15
• 6 za 16
• 3 za 17
• 1 za 18

Formovanie súm

Ako bolo uvedené vyššie, pre tri kocky možné súčty zahŕňajú každé číslo od troch do 18. Pravdepodobnosti možno vypočítať pomocou stratégie počítania a uvedomujúc si, že hľadáme spôsoby, ako rozdeliť číslo presne na tri celé čísla. Napríklad jediný spôsob, ako získať súčet tri, je 3 = 1 + 1 + 1. Keďže každá kocka je nezávislá od ostatných, súčet ako štyri možno získať tromi rôznymi spôsobmi:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Ďalšie počítacie argumenty možno použiť na nájdenie počtu spôsobov, ako vytvoriť ostatné sumy. Rozdelenie každej sumy je nasledovné:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Keď oddiel tvoria tri rôzne čísla, napríklad 7 = 1 + 2 + 4, sú 3! (3x2x1) rôznymi spôsobmi permutácia tieto čísla. Takže to by sa započítalo do troch výsledkov v priestore vzorky. Keď dve rôzne čísla tvoria oddiel, potom existujú tri rôzne spôsoby permutácie týchto čísel.

Špecifické pravdepodobnosti

Celkový počet spôsobov, ako získať každý súčet, vydelíme celkovým počtom výsledkov v vzorový priestor , alebo 216. Výsledky sú:

• Pravdepodobnosť súčtu 3: 1/216 = 0,5 %
• Pravdepodobnosť súčtu 4: 3/216 = 1,4 %
• Pravdepodobnosť súčtu 5: 6/216 = 2,8 %
• Pravdepodobnosť súčtu 6: 10/216 = 4,6 %
• Pravdepodobnosť súčtu 7: 15/216 = 7,0 %
• Pravdepodobnosť súčtu 8: 21/216 = 9,7 %
• Pravdepodobnosť súčtu 9: 25/216 = 11,6 %
• Pravdepodobnosť súčtu 10: 27/216 = 12,5 %
• Pravdepodobnosť súčtu 11: 27/216 = 12,5 %
• Pravdepodobnosť súčtu 12: 25/216 = 11,6 %
• Pravdepodobnosť súčtu 13: 21/216 = 9,7 %
• Pravdepodobnosť súčtu 14: 15/216 = 7,0 %
• Pravdepodobnosť súčtu 15: 10/216 = 4,6 %
• Pravdepodobnosť súčtu 16: 6/216 = 2,8 %
• Pravdepodobnosť súčtu 17: 3/216 = 1,4 %
• Pravdepodobnosť súčtu 18: 1/216 = 0,5 %

Ako vidno, extrémne hodnoty 3 a 18 sú najmenej pravdepodobné. Najpravdepodobnejšie sú sumy, ktoré sú presne v strede. To zodpovedá tomu, čo bolo pozorované pri hode dvoma kockami.