Exponenciálna funkcia a rozpad

v matematike, exponenciálny rozpad opisuje proces znižovania sumy o konzistentnú percentuálnu mieru počas určitého časového obdobia. Dá sa vyjadriť vzorcom y=a(1-b)^X kde Y je konečná suma, a je pôvodná suma, b je rozpadovým faktorom a X je množstvo času, ktorý uplynul.

Vzorec exponenciálneho úbytku je užitočný v rôznych aplikáciách v reálnom svete, najmä na sledovanie zásob, ktoré sa pravidelne používajú v rovnakom množstve (ako jedlo v školskej jedálni) a je obzvlášť užitočný v schopnosti rýchlo posúdiť dlhodobé náklady. používania produktu v priebehu času.

Exponenciálny rozpad je odlišný od lineárny rozpad v tom, že faktor rozpadu závisí od percenta pôvodného množstva, čo znamená, že skutočné číslo, o ktoré by sa pôvodné množstvo mohlo znížiť, sa bude časom meniť, zatiaľ čo lineárna funkcia znižuje pôvodné číslo zakaždým o rovnakú hodnotu.

Je to aj opak exponenciálny rast , ktorý sa zvyčajne vyskytuje na akciových trhoch, kde hodnota spoločnosti porastie exponenciálne v priebehu času pred dosiahnutím plató. Môžete porovnávať a porovnávať rozdiely medzi exponenciálnym rastom a úpadkom, ale je to celkom jednoduché: jeden zvyšuje pôvodné množstvo a druhý ho znižuje.

Prvky vzorca exponenciálneho rozpadu

Na začiatok je dôležité rozpoznať vzorec exponenciálneho rozpadu a byť schopný identifikovať každý z jeho prvkov:

y = a(1-b)^X

Aby sme správne pochopili užitočnosť vzorca rozpadu, je dôležité pochopiť, ako je každý z faktorov definovaný, počnúc frázou „faktor rozpadu“ – reprezentovaný písmenom b vo vzorci exponenciálneho úbytku – čo je percento, o ktoré sa pôvodné množstvo zakaždým zníži.

Pôvodná suma tu – reprezentovaná listom a vo vzorci – je množstvo pred tým, než dôjde k rozkladu, takže ak o tom uvažujete v praktickom zmysle, pôvodné množstvo by bolo množstvo jabĺk, ktoré pekáreň kúpi, a exponenciálny faktor by bol percentuálny podiel jabĺk použitých každú hodinu robiť koláče.

Exponent, ktorým je v prípade exponenciálneho rozpadu vždy čas a vyjadrený písmenom x, predstavuje, ako často dochádza k rozpadu a zvyčajne sa vyjadruje v sekundách, minútach, hodinách, dňoch alebo rokoch.

Príklad exponenciálneho rozpadu

Použite nasledujúci príklad, ktorý vám pomôže pochopiť koncept exponenciálneho úpadku v scenári reálneho sveta:

V pondelok Ledwith’s Cafeteria obsluhuje 5 000 zákazníkov, no v utorok ráno miestne správy uvádzajú, že reštaurácia neprešla zdravotnou prehliadkou a má – fuj! – porušenia súvisiace s kontrolou škodcov. V utorok bufet obsluhuje 2 500 zákazníkov. V stredu bufet obsluhuje len 1250 zákazníkov. Vo štvrtok bufet obsluhuje úbohých 625 zákazníkov.

Ako vidíte, počet zákazníkov klesol každý deň o 50 percent. Tento typ poklesu sa líši od lineárnej funkcie. V lineárna funkcia , počet zákazníkov by klesal každý deň o rovnakú sumu. Pôvodná suma ( a ) by bol 5 000, faktor rozpadu ( b ) by teda bolo 0,5 (50 percent zapísaných ako desatinné číslo) a hodnota času ( X ) sa určí podľa toho, na koľko dní chce spoločnosť Ledwith predpovedať výsledky.

Ak by sa Ledwith spýtal, koľko zákazníkov by stratil za päť dní, ak by trend pokračoval, jeho účtovník by mohol nájsť riešenie tak, že všetky vyššie uvedené čísla zapojí do vzorca exponenciálneho poklesu, aby získal nasledovné:

y = 5 000 (1-,5)⁵

Riešenie vychádza na 312 a pol, ale keďže nemôžete mať polovičného zákazníka, účtovník by zaokrúhlil číslo na 313 a mohol by povedať, že za päť dní by Ledwith mohol očakávať stratu ďalších 313 zákazníkov!