Čo sú axiómy pravdepodobnosti?
Tri axiómy pravdepodobnosti. C.K.Taylor
Jednou zo stratégií v matematike je začať s niekoľkými výrokmi a potom z týchto výrokov vybudovať viac matematiky. Začiatočné výroky sú známe ako axiómy. Axióma je zvyčajne niečo, čo je matematicky samozrejmé. Z relatívne krátkeho zoznamu axióm sa deduktívna logika používa na dôkaz iných tvrdení, ktoré sa nazývajú vety alebo tvrdenia.
Oblasť matematiky známa ako pravdepodobnosť nie je iná. Pravdepodobnosť možno zredukovať na tri axiómy. Prvýkrát to urobil matematik Andrei Kolmogorov. Na odvodenie všetkých možno použiť niekoľko axióm, ktoré sú základom pravdepodobnosti zoraďuje výsledkov. Aké sú však tieto axiómy pravdepodobnosti?
Definície a predbežné informácie
Aby sme pochopili axiómy pravdepodobnosti, musíme najprv prediskutovať niektoré základné definície. Predpokladáme, že máme množinu výsledkov nazývanú priestor vzorky S. Tento vzorový priestor možno považovať za univerzálny súbor pre situáciu, ktorú študujeme. Vzorový priestor sa skladá z podmnožín nazývaných udalosti A 1, A dva, . . ., An .
Tiež predpokladáme, že existuje spôsob priradenia pravdepodobnosti akejkoľvek udalosti A . Toto si možno predstaviť ako funkciu, ktorá má množinu pre vstup a a Reálne číslo ako výstup. Pravdepodobnosť udalosť A je označený P ( A ).
Axióma jedna
Prvá axióma pravdepodobnosti je, že pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti je nezáporné reálne číslo. To znamená, že najmenšia pravdepodobnosť, akú kedy môže byť, je nula a nemôže byť nekonečná. Množina čísel, ktoré môžeme použiť, sú reálne čísla. Týka sa to racionálnych čísel, známych aj ako zlomky, aj iracionálnych čísel, ktoré sa nedajú zapísať ako zlomky.
Jedna vec, ktorú treba poznamenať, je, že táto axióma nehovorí nič o tom, aká veľká môže byť pravdepodobnosť udalosti. Axióma vylučuje možnosť negatívnych pravdepodobností. Odráža predstavu, že najmenšia pravdepodobnosť, vyhradená pre nemožné udalosti, je nulová.
Axióma dva
Druhá axióma pravdepodobnosti je, že pravdepodobnosť celého priestoru vzorky je jedna. Symbolicky píšeme P ( S ) = 1. V tejto axióme je implicitná predstava, že priestor vzoriek je všetko možné pre náš pravdepodobnostný experiment a že mimo priestoru vzoriek neexistujú žiadne udalosti.
Táto axióma sama o sebe nestanovuje hornú hranicu pravdepodobnosti udalostí, ktoré nie sú celým priestorom vzorky. Odráža to, že niečo s absolútnou istotou má pravdepodobnosť 100 %.
Axióma tri
Tretia axióma pravdepodobnosti sa zaoberá navzájom sa vylučujúcimi udalosťami. Ak A 1a A dvasú vzájomne sa vylučujú , čo znamená, že majú prázdny priesečník a potom používame U na označenie únie P ( A 1IN A dva) = P ( A 1) + P ( A dva).
Axióma v skutočnosti pokrýva situáciu niekoľkými (dokonca spočítateľne nekonečnými) udalosťami, z ktorých každá dvojica sa navzájom vylučuje. Pokiaľ k tomu dôjde, pravdepodobnosť spojenia udalostí je rovnaký ako súčet pravdepodobností:
P ( A 1IN A dvaV . . . IN An ) = P ( A 1) + P ( A dva) + . . . + An
Aj keď sa táto tretia axióma nemusí javiť ako užitočná, uvidíme, že v kombinácii s ostatnými dvoma axiómami je skutočne dosť silná.
Aplikácie Axiom
Tieto tri axiómy stanovujú hornú hranicu pravdepodobnosti akejkoľvek udalosti. Označujeme doplnok podujatia A podľa A C. Z teórie množín, A a A Cmajú prázdnu križovatku a navzájom sa vylučujú. Ďalej A IN A C= S , celý priestor vzorky.
Tieto fakty v kombinácii s axiómami nám dávajú:
1 = P ( S ) = P ( A IN A C) = P ( A ) + P ( A C).
Preusporiadame vyššie uvedenú rovnicu a vidíme to P ( A ) = 1 - P ( A C). Keďže vieme, že pravdepodobnosti musia byť nezáporné, teraz máme, že horná hranica pravdepodobnosti akejkoľvek udalosti je 1.
Opätovným preusporiadaním vzorca máme P ( AC ) = 1 - P ( A ). Z tohto vzorca môžeme tiež odvodiť, že pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, je jedna mínus pravdepodobnosť, že k nej dôjde.
Vyššie uvedená rovnica nám tiež poskytuje spôsob, ako vypočítať pravdepodobnosť nemožnej udalosti, označenej prázdnou množinou. Aby ste to videli, nezabudnite, že prázdna množina je v tomto prípade doplnkom univerzálnej množiny S C. Keďže 1 = P ( S ) + P ( S C) = 1 + P ( S C), podľa algebry máme P ( S C) = 0.
Ďalšie aplikácie
Vyššie uvedené je len pár príkladov vlastností, ktoré možno dokázať priamo z axióm. Existuje oveľa viac výsledkov v pravdepodobnosti. Ale všetky tieto vety sú logickým rozšírením troch axióm pravdepodobnosti.