Čo je to kalkul? Definícia a praktické aplikácie

Odvetvie matematiky študuje mieru zmien

Zdroj obrázka / Getty Images

Počet je odvetvie matematiky, ktoré zahŕňa štúdium miery zmeny. Predtým, ako bol vynájdený počet, bola všetka matematika statická: Pomohla vypočítať iba objekty, ktoré boli dokonale nehybné. Ale vesmír sa neustále pohybuje a mení. Žiadne objekty – od hviezd vo vesmíre až po subatomárne častice alebo bunky v tele – nie sú vždy v pokoji. V skutočnosti sa takmer všetko vo vesmíre neustále pohybuje. Počet pomohol určiť, ako sa častice, hviezdy a hmota skutočne pohybujú a menia v reálnom čase.

Počet sa používa v mnohých oblastiach, o ktorých by ste si bežne nemysleli, že by mohli využívať jeho koncepty. Medzi nimi je fyzika, inžinierstvo, ekonómia, štatistika a medicína. Zubný kameň sa používa aj v takých rôznorodých oblastiach, ako je cestovanie vesmírom, ako aj na určenie toho, ako lieky interagujú s telom, a dokonca aj na to, ako vybudovať bezpečnejšie štruktúry. Pochopíte, prečo je kalkul užitočný v toľkých oblastiach, ak budete vedieť niečo o jeho histórii, ako aj o tom, na čo je určený a čo merať.

Kľúčové poznatky: Základná teoréma počtu

• Kalkul je štúdium rýchlosti zmien.
• Gottfried Leibniz a Isaac Newton, matematici 17. storočia, vynašli kalkul nezávisle. Newton ho vynašiel ako prvý, ale Leibniz vytvoril zápisy, ktoré dnes používajú matematici.
• Existujú dva typy počtu: Diferenciálny počet určuje rýchlosť zmeny množstva, zatiaľ čo integrálny počet nájde množstvo, pri ktorom je rýchlosť zmeny známa.

Kto vynašiel kalkul?

Počet vyvinuli v druhej polovici 17. storočia dvaja matematici, Gottfried Leibniz a Isaac Newton . Newton najprv vyvinul kalkul a aplikoval ho priamo na pochopenie fyzikálnych systémov. Nezávisle na tom, Leibniz vyvinul notácie používané v kalkule. Zjednodušene povedané, zatiaľ čo základná matematika používa operácie ako plus, mínus, časy a delenie (+, -, x a ÷), kalkul používa operácie, ktoré využívajú funkcie a integrály na výpočet miery zmeny.

Tieto nástroje umožnili Newtonovi, Leibnizovi a ďalším matematikom, ktorí nasledovali, vypočítať veci ako presný sklon krivky v akomkoľvek bode. Príbeh matematiky vysvetľuje dôležitosť základnej Newtonovej vety o počte:

'Na rozdiel od statickej geometrie Grékov, kalkul umožnil matematikom a inžinierom pochopiť pohyb a dynamické zmeny v meniacom sa svete okolo nás, ako sú dráhy planét, pohyb tekutín atď.'

Vedci, astronómovia, fyzici, matematici a chemici teraz pomocou počtu mohli zmapovať obežnú dráhu planét a hviezd, ako aj dráhu elektrónov a protónov na atómovej úrovni.

Diferenciálny vs. integrálny počet

Existujú dve vetvy počtu: diferenciálny a integrálny počet. „Diferenciálny počet študuje derivačný a integrálny počet... integrál,“ poznamenáva Massachusetts Institute of Technology. Ale je toho viac. Diferenciálny počet určuje rýchlosť zmeny veličiny. Skúma rýchlosti zmeny sklonov a kriviek.

Toto odvetvie sa zaoberá štúdiom rýchlosti zmien funkcií vzhľadom na ich premenné, najmä pomocou derivátov a diferenciálov. Derivácia je sklon čiary v grafe. Sklon priamky zistíte výpočtom povzniesť sa nad beh .

integrálny počet , naopak, sa snaží nájsť množstvo, kde je známa rýchlosť zmeny. Táto vetva sa zameriava na také pojmy, ako sú sklony dotyčníc a rýchlosti. Zatiaľ čo diferenciálny počet sa zameriava na samotnú krivku, integrálny počet sa zaoberá priestorom alebo plochou pod krivka. Integrálny počet sa používa na určenie celkovej veľkosti alebo hodnoty, ako sú dĺžky, plochy a objemy.

Počet hral integrálnu úlohu v rozvoj navigácie v 17. a 18. storočí, pretože umožňovala námorníkom využívať polohu mesiaca na presné určenie miestneho času. Aby navigátori mohli zmapovať svoju polohu na mori, museli byť schopní presne merať čas aj uhly. Pred vývojom kalkulu nemohli lodní navigátori a kapitáni robiť ani jedno ani druhé.

Počet – odvodený aj integrálny – pomohol zlepšiť pochopenie tohto dôležitého konceptu, pokiaľ ide o krivku Zeme, vzdialenosť, ktorú museli lode prekonať, aby sa dostali na konkrétne miesto, a dokonca aj zarovnanie Zeme, morí. a lode vo vzťahu ku hviezdam.

Praktické aplikácie

Kalkul má mnoho praktických aplikácií v reálnom živote. Niektoré z koncepty, ktoré využívajú kalkul zahŕňajú pohyb, elektrinu, teplo, svetlo, harmonické, akustiku a astronómiu. Počet sa používa v geografii, počítačovom videní (napríklad pri autonómnom riadení áut), fotografovaní, umelej inteligencii, robotike, videohrách a dokonca aj vo filmoch. Kalkul sa tiež používa na výpočet rýchlosti rádioaktívneho rozpadu v chémii a dokonca aj na predpovedanie pôrodnosti a úmrtnosti, ako aj pri štúdiu gravitácie a pohybu planét, prúdenia tekutín, konštrukcie lodí, geometrických kriviek a mostného inžinierstva.

Napríklad vo fyzike sa počet používa na definovanie, vysvetlenie a výpočet pohybu, elektriny, tepla, svetla, harmonických, akustiky, astronómie a dynamiky. Einsteinova teória relativity sa opiera o kalkul, oblasť matematiky, ktorá tiež pomáha ekonómom predpovedať, aký zisk môže spoločnosť alebo odvetvie dosiahnuť. A v stavba lodí , počet sa už mnoho rokov používa na určenie krivky trupu lode (pomocou diferenciálneho počtu), ako aj plochy pod trupom (pomocou integrálneho počtu), a dokonca aj vo všeobecnom dizajne lodí.

Okrem toho sa počet používa na kontrolu odpovedí pre rôzne matematické disciplíny, ako je štatistika, analytická geometria a algebra.

Kalkul v ekonómii

Ekonómovia používajú kalkul na predpovedanie ponuky, dopytu a maximálnych potenciálnych ziskov. Ponuka a dopyt sú koniec koncov v podstate znázornené na krivke – a to na neustále sa meniacej krivke.

Ekonómovia používajú kalkul na určenie cenová elasticita dopytu . Neustále sa meniacu krivku ponuky a dopytu označujú ako „elastickú“ a pôsobenie krivky ako „elasticitu“. Ak chcete vypočítať presnú mieru elasticity v určitom bode krivky ponuky alebo dopytu, musíte premýšľať o nekonečne malých zmenách ceny a v dôsledku toho začleniť matematické deriváty do svojich vzorcov elasticity. Kalkulácia vám umožňuje určiť konkrétne body na neustále sa meniacej krivke ponuky a dopytu.

Zdroj

„Zhrnutie počtu.“ Massachusetts Institute of Technology, 10. januára 2000, Cambridge, MA.