Číslo Pi: 3,14159265...

Pi. Carol Yepes/Getty Images

Jednou z najpoužívanejších konštánt v celej matematike je číslo pi, ktoré sa označuje gréckym písmenom π. Koncept pi pochádza z geometrie, ale toto číslo má aplikácie v celej matematike a objavuje sa v ďalekosiahlych predmetoch vrátane štatistiky a pravdepodobnosti. Pi dokonca získal kultúrne uznanie a svoj vlastný sviatok s oslavou Aktivity dňa Pi okolo sveta.

Hodnota Pi

Pi je definované ako pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Hodnota pi je o niečo väčšia ako tri, čo znamená, že každý kruh vo vesmíre má obvod s dĺžkou, ktorá je o niečo väčšia ako trojnásobok jeho priemeru. Presnejšie, pí má desatinnú reprezentáciu, ktorá začína 3,14159265... Toto je len časť desiatkovej expanzie pí.

Pi fakty

Pi má mnoho fascinujúcich a nezvyčajných funkcií, vrátane:

• Pi je iracionálne Reálne číslo . To znamená, že pi nemožno vyjadriť ako zlomok a/b kde a a b sú obaja celé čísla . Hoci čísla 22/7 a 355/113 sú užitočné pri odhade pi, ani jeden z týchto zlomkov nie je skutočnou hodnotou pi.
• Pretože pí je iracionálne číslo, jeho desatinná expanzia nikdy nekončí ani sa neopakuje. Existuje niekoľko otázok týkajúcich sa tohto desatinného rozšírenia, ako napríklad: Zobrazuje sa každý možný reťazec číslic niekde v desatinnom rozvoji pi? Ak sa objaví každý možný reťazec, potom je číslo vášho mobilného telefónu niekde v expanzii pi (ale to isté platí aj pre všetkých ostatných).
• Pi je transcendentálne číslo. To znamená, že pi nie je nula polynómu s celočíselnými koeficientmi. Táto skutočnosť je dôležitá pri skúmaní pokročilejších funkcií pi.
• Pi je dôležité geometricky, a to nielen preto, že súvisí s obvodom a priemerom kruhu. Toto číslo sa zobrazí aj vo vzorci pre obsah kruhu. Oblasť kruhu s polomerom r je A = pi r ^dva. Číslo pi sa používa v iných geometrických vzorcoch, ako je povrch a objem gule, objem kužeľa a objem valca s kruhovou základňou.
• Pi sa objaví, keď sa to najmenej očakáva. Pre jeden z mnohých príkladov tohto, zvážte nekonečná suma 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 +... Tento súčet konverguje k hodnote pi^dva/6.

Pi v štatistike a pravdepodobnosti

Pi robí prekvapivé javy v matematike a niektoré z týchto objavov sú v predmetoch pravdepodobnosti a štatistiky. Vzorec pre štandardné normálne rozdelenie , tiež známa ako zvonová krivka, obsahuje číslo pi ako konštantu normalizácie. Inými slovami, delenie výrazom zahŕňajúcim pi umožňuje povedať, že plocha pod krivkou sa rovná jednej. Pi je súčasťou vzorcov pre ostatné rozdelenia pravdepodobnosti tiež.

Ďalším prekvapivým výskytom pí v pravdepodobnosti je storočný experiment s hádzaním ihlou. V 18. storočí Georges-Louis Leclerc, gróf de Buffon položil otázku týkajúcu sa pravdepodobnosti padania ihiel: Začnite s podlahou s drevenými doskami rovnakej šírky, v ktorej sú čiary medzi jednotlivými doskami navzájom rovnobežné. Vezmite ihlu s dĺžkou kratšou ako je vzdialenosť medzi doskami. Ak spadnete ihlou na podlahu, aká je pravdepodobnosť, že dopadne na čiaru medzi dvoma drevenými doskami?

Ako sa ukázalo, pravdepodobnosť, že ihla dopadne na čiaru medzi dvoma doskami, je dvojnásobkom dĺžky ihly delenej dĺžkou medzi doskami krát pi.