Vzorce momentu zotrvačnosti

The moment zotrvačnosti objektu je číselná hodnota, ktorú možno vypočítať pre akékoľvek tuhé teleso, ktoré prechádza fyzickou rotáciou okolo pevnej osi. Je založený nielen na fyzickom tvare objektu a jeho rozložení hmoty, ale aj na špecifickej konfigurácii rotácie objektu. Takže ten istý objekt rotujúci rôznymi spôsobmi by mal v každej situácii iný moment zotrvačnosti.

01 z 11

Všeobecný vzorec

Všeobecný vzorec na odvodenie momentu zotrvačnosti. Andrew Zimmerman Jones

Všeobecný vzorec predstavuje najzákladnejšie koncepčné chápanie momentu zotrvačnosti. V podstate pre akýkoľvek rotujúci objekt je moment zotrvačnosť možno vypočítať tak, že vezmeme vzdialenosť každej častice od osi rotácie ( r v rovnici), umocnenie tejto hodnoty (to je r ^dvatermín) a vynásobte ho krát omša tej častice. Urobíte to pre všetky častice, ktoré tvoria rotujúci objekt, a potom tieto hodnoty sčítate, čím získate moment zotrvačnosti.

Dôsledkom tohto vzorca je, že ten istý objekt získa inú hodnotu momentu zotrvačnosti v závislosti od toho, ako sa otáča. Nová os rotácie skončí s iným vzorcom, aj keď fyzický tvar objektu zostane rovnaký.

Tento vzorec predstavuje najhrubší prístup k výpočtu momentu zotrvačnosti. Ostatné uvedené vzorce sú zvyčajne užitočnejšie a predstavujú najbežnejšie situácie, do ktorých sa fyzici dostanú.

02 z 11

Komplexný vzorec

Všeobecný vzorec je užitočný, ak možno s objektom zaobchádzať ako so zbierkou diskrétnych bodov, ktoré možno sčítať. Pre prepracovanejší objekt však môže byť potrebné použiť kalkul vziať integrál cez celý objem. Premenná r je polomer vektor od bodu k osi otáčania. Vzorec p ( r ) je funkcia hustoty hmotnosti v každom bode r:

I-sub-P sa rovná súčtu i od 1 do N množstva m-sub-i krát r-sub-i na druhú.

03 z 11

Pevná guľa

Pevná guľa rotujúca na osi, ktorá prechádza stredom gule, s hmotnosťou M a polomer R , má moment zotrvačnosti určený vzorcom:

I = (2/5) PÁN ^dva

04 z 11

Dutá tenkostenná guľa

Dutá guľa s tenkou, zanedbateľnou stenou rotujúcou okolo osi, ktorá prechádza stredom gule, s hmotnosťou M a polomer R , má moment zotrvačnosti určený vzorcom:

I = (2/3) PÁN ^dva

05 z 11

Pevný valec

Pevný valec otáčajúci sa na osi, ktorá prechádza stredom valca, s hmotnosťou M a polomer R , má moment zotrvačnosti určený vzorcom:

I = (1/2) PÁN ^dva

06 z 11

Dutý tenkostenný valec

Dutý valec s tenkou, zanedbateľnou stenou rotujúci na osi, ktorá prechádza stredom valca, s hmotnosťou M a polomer R , má moment zotrvačnosti určený vzorcom:

Ja = PÁN ^dva

07 z 11

Dutý valec

Dutý valec s otáčaním na osi, ktorá prechádza stredom valca, s hmotnosťou M , vnútorný polomer R ₁a vonkajší polomer R _dva, má moment zotrvačnosti určený vzorcom:

I = (1/2) M ( R ₁^dva+ R _dva^dva)

Poznámka: Ak ste vzali tento vzorec a nastavili R ₁= R _dva= R (alebo vhodnejšie brať matematický limit ako R ₁a R _dvapriblížiť sa k spoločnému polomeru R ), dostali by ste vzorec pre moment zotrvačnosti dutého tenkostenného valca.

08 z 11

Obdĺžnikový tanier, os cez stred

Tenká obdĺžniková doska rotujúca na osi, ktorá je kolmá na stred dosky, s hmotnosťou M a dĺžky strán a a b , má moment zotrvačnosti určený vzorcom:

I = (1/12) M ( a ^dva+ b ^dva)

09 z 11

Obdĺžnikový tanier, os pozdĺž okraja

Tenká obdĺžniková platňa, otáčajúca sa na osi pozdĺž jedného okraja platne, s hmotnosťou M a dĺžky strán a a b , kde a je vzdialenosť kolmá na os otáčania, má moment zotrvačnosti určený podľa vzorca:

I = (1/3) A ^dva

10 z 11

Štíhla tyč, os cez stred

Štíhla tyč rotujúca na osi, ktorá prechádza stredom tyče (kolmo na jej dĺžku), s hmotnosťou M a dĺžka L , má moment zotrvačnosti určený vzorcom:

I = (1/12) ML ^dva

11 z 11

Štíhla tyč, os cez jeden koniec

Štíhla tyč rotujúca na osi, ktorá prechádza koncom tyče (kolmo na jej dĺžku), s hmotnosťou M a dĺžka L , má moment zotrvačnosti určený vzorcom:

I = (1/3) ML ^dva