Matematické vlastnosti vĺn

PASIEKA/Science Photolibrary/Getty Images

Fyzikálne vlny, príp mechanické vlny , vznikajú vibráciou média, či už je to struna, zemská kôra alebo častice plynov a tekutín. Vlny majú matematické vlastnosti, ktoré možno analyzovať, aby sme pochopili pohyb vlny. Tento článok predstavuje skôr tieto všeobecné vlnové vlastnosti, než ako ich aplikovať v konkrétnych situáciách vo fyzike.

Priečne a pozdĺžne vlny

Existujú dva typy mechanických vĺn.

A je také, že posuny média sú kolmé (priečne) na smer pohybu vlny pozdĺž média. Vibrovanie struny v periodickom pohybe, takže vlny sa pohybujú pozdĺž nej, je priečna vlna, rovnako ako vlny v oceáne.

A pozdĺžna vlna je taká, že posuny média sú tam a späť v rovnakom smere ako samotná vlna. Zvukové vlny, kde sú častice vzduchu tlačené v smere pohybu, sú príkladom pozdĺžnej vlny.

Aj keď sa vlny diskutované v tomto článku budú vzťahovať na cestovanie v médiu, tu uvedená matematika môže byť použitá na analýzu vlastností nemechanických vĺn. Elektromagnetické žiarenie je napríklad schopné cestovať prázdnym priestorom, no napriek tomu má rovnaké matematické vlastnosti ako iné vlny. Napríklad, Dopplerov efekt pre zvukové vlny je dobre známy, ale existuje podobný Dopplerov efekt pre svetelné vlny a sú založené na rovnakých matematických princípoch.

Čo spôsobuje vlny?

1. Vlny možno považovať za poruchu v prostredí okolo rovnovážneho stavu, ktorý je vo všeobecnosti v pokoji. Energia tejto poruchy spôsobuje pohyb vĺn. Bazén vody je v rovnováhe, keď nie sú žiadne vlny, ale akonáhle sa do nej hodí kameň, rovnováha častíc sa naruší a začne sa vlnenie.
2. Narušenie vlny sa šíri, príp propaguje , s definitívnou rýchlosťou, tzv rýchlosť vlny ( v ).
3. Vlny prenášajú energiu, ale nie hmotu. Samotné médium necestuje; jednotlivé častice sa pohybujú tam a späť alebo hore a dole okolo rovnovážnej polohy.

Vlnová funkcia

Aby sme matematicky opísali pohyb vĺn, odkazujeme na koncept a vlnová funkcia , ktorý popisuje polohu častice v médiu v akomkoľvek čase. Najzákladnejšou vlnovou funkciou je sínusová vlna alebo sínusová vlna, ktorá je a periodická vlna (t. j. vlna s opakujúcim sa pohybom).

Je dôležité poznamenať, že vlnová funkcia nezobrazuje fyzickú vlnu, ale je to skôr graf posunu okolo rovnovážnej polohy. Môže to byť mätúci koncept, ale užitočná vec je, že môžeme použiť sínusovú vlnu na zobrazenie väčšiny periodických pohybov, ako je pohyb v kruhu alebo kývanie kyvadla, ktoré nemusia nevyhnutne vyzerať ako vlna, keď si pozriete skutočný pohyb. pohybu.

Vlastnosti vlnovej funkcie

rýchlosť vlny( v ) - rýchlosť šírenia vlny amplitúda( A ) - maximálna veľkosť vychýlenia z rovnováhy, v jednotkách SI metrov. Vo všeobecnosti je to vzdialenosť od rovnovážneho stredu vlny k jej maximálnemu posunutiu alebo je to polovica celkového posunutia vlny. obdobie( T ) - je čas pre jeden vlnový cyklus (dva impulzy alebo z hrebeňa na hrebeň alebo z dna na dno), v jednotkách SI v sekundách (hoci to môže byť označované ako „sekundy na cyklus“). frekvencia( f ) - počet cyklov za jednotku času. Jednotkou frekvencie SI je hertz (Hz) a

1 Hz = 1 cyklus/s = 1 s^-1

uhlová frekvencia( oh ) - je 2 Pi násobok frekvencie v jednotkách SI radiánov za sekundu.
• vlnová dĺžka ( l ) - vzdialenosť medzi akýmikoľvek dvoma bodmi v zodpovedajúcich polohách pri postupných opakovaniach vlny, takže (napríklad) od jedného hrebeňa alebo úžľabia k ďalšiemu, v jednotky SI metrov.
vlnové číslo( k ) - nazývaný tiež konštanta šírenia , toto užitočné množstvo je definované ako 2 Pi delené vlnovou dĺžkou, takže jednotky SI sú radiány na meter. pulz- jedna polovičná vlnová dĺžka, od rovnovážneho späť

Niektoré užitočné rovnice na definovanie vyššie uvedených veličín sú:

v = l / T = l f

oh = 2 p f = 2 Pi / T

T = 1 / f = 2 Pi / oh

k = 2 Pi / oh

oh = vk

vertikálna poloha bodu na vlne, Y , možno nájsť ako funkciu vodorovnej polohy, X a čas, t , keď sa na to pozrieme. Ďakujeme milým matematikom za to, že pre nás urobili túto prácu, a získavame nasledujúce užitočné rovnice na opis pohybu vĺn:

Y ( x, t ) = A bez oh ( t - X / v ) = A bez 2 p f ( t - X / v )

Y ( x, t ) = A bez 2 Pi ( t / T - X / v )

Y( x, t ) = A bez ( oh t - kx )

Vlnová rovnica

Jednou z posledných vlastností vlnovej funkcie je aplikácia kalkul vziať druhú deriváciu dáva vlnová rovnica , čo je zaujímavý a niekedy užitočný produkt (za ktorý sa ešte raz poďakujeme matematikom a prijmeme ho bez toho, aby sme to dokazovali):

d ^dva Y / dx ^dva= (1 / v ^dva) d ^dva Y / dt ^dva

Druhý derivát Y s ohľadom na X je ekvivalentná druhej derivácii z Y s ohľadom na t delené druhou mocninou rýchlosti vlny. Kľúčovou užitočnosťou tejto rovnice je to vždy, keď sa vyskytne, vieme, že funkcia Y pôsobí ako vlna s rýchlosťou vĺn v a preto, situáciu možno opísať pomocou vlnovej funkcie .