Ako odvodiť vzorec pre kombinácie
PeopleImages.com / Getty Images
Po zhliadnutí vzorcov vytlačených v učebnici alebo napísaných na tabuli učiteľom je niekedy prekvapujúce zistiť, že mnohé z týchto vzorcov možno odvodiť z niektorých základných definícií a starostlivého uvažovania. Platí to najmä v prípade pravdepodobnosti pri skúmaní vzorca pre kombinácie. Odvodenie tohto vzorca sa skutočne spolieha len na princíp násobenia.
Princíp násobenia
Predpokladajme, že existuje úloha, ktorú treba urobiť, a táto úloha je rozdelená celkovo do dvoch krokov. Prvý krok je možné vykonať v k spôsobmi a druhý krok je možné vykonať v n spôsoby. To znamená, že ponásobenietieto čísla spolu, počet spôsobov vykonania úlohy je ako napr .
Napríklad, ak máte na výber desať druhov zmrzliny a tri rôzne polevy, koľko dokážete vyrobiť jeden kopček, jeden zmrzlinový pohár? Vynásobte tri x 10, aby ste dostali 30 pohárov.
Formovanie permutácií
Teraz použite princíp násobenia na odvodenie vzorca pre počet kombinácií r prvky prevzaté zo súboru n prvkov. Nechaj P(n,r) označujú počet permutácií z r prvky zo súboru n a C(n,r) označujú počet kombinácií r prvky zo súboru n prvkov.
Zamyslite sa nad tým, čo sa stane pri vytváraní permutácie r prvkov z celkového počtu n . Pozrite sa na to ako na dvojkrokový proces. Najprv si vyberte sadu r prvky zo súboru n . Toto je kombinácia a existujú C (n, r) spôsoby, ako to urobiť. Druhým krokom v procese je objednávka r prvky s r voľby pre prvé, r - 1 možnosť pre druhú, r - 2 pre tretiu, 2 možnosti pre predposlednú a 1 pre poslednú. Podľa princípu násobenia existujú r X ( r -1) x . . . x 2 x 1 = r ! spôsoby, ako to urobiť. Tento vzorec je napísaný pomocou faktoriálny zápis .
Odvodenie vzorca
pre rekapituláciu, P ( n , r ), počet spôsobov, ako vytvoriť permutáciu r prvkov z celkového počtu n sa určuje podľa:
- Vytvorenie kombinácie r prvkov z celkového počtu n v ktoromkoľvek z C ( n , r ) spôsoby
- Objednávanie týchto r niektorý z prvkov r ! spôsoby.
Podľa princípu násobenia je počet spôsobov vytvorenia permutácie P ( n , r ) = C ( n , r ) X r !.
Použitie vzorca na permutácie P ( n , r ) = n !/( n - r )!, ktorý možno nahradiť do vyššie uvedeného vzorca:
n !/( n - r )! = C ( n , r ) r !.
Teraz vyriešte toto, počet kombinácií, C ( n , r ), a uvidíte to C ( n , r ) = n !/[ r !( n - r )!].
Ako sa ukázalo, trocha myslenia a algebry môže ísť ďaleko. Iné vzorce v pravdepodobnosti a štatistike možno odvodiť aj s určitým opatrným použitím definícií.